Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7779 / 1693
↖ ↑ ↗
← N 72.006159°
E161.850586°		 ← 1 509.51 m → N 72.006159°
E161.894531°		 →
↑
1 510.12 m
↓
↑
1 510.12 m
↓
N 71.992578°
E161.850586°		 ← 1 510.61 m →
2 280 370 m²		 N 71.992578°
E161.894531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7779 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1693 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.94964599609375 y=0.20672607421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.94964599609375 × 213)
    floor (0.94964599609375 × 8192)
    floor (7779.5)     		tx = 7779
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.20672607421875 × 213)
    floor (0.20672607421875 × 8192)
    floor (1693.5)     		ty = 1693
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7779 / 1693 ti = "13/7779/1693"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7779/1693.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7779 ÷ 213
    7779 ÷ 8192     		x = 0.9495849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1693 ÷ 213
    1693 ÷ 8192     		y = 0.2066650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9495849609375 × 2 - 1) × π
    0.899169921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.82482562
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2066650390625 × 2 - 1) × π
    0.586669921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.84307791659192
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82482562} λ = 2.82482562}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84307791659192))-π/2
    2×atan(6.31594833658517)-π/2
    2×1.41377043593258-π/2
    2.82754087186515-1.57079632675     		φ = 1.25674455
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82482562} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.850586°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25674455 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.006159°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7779 KachelY 1693 2.82482562 1.25674455 161.850586 72.006159
    Oben rechts KachelX + 1 7780 KachelY 1693 2.82559261 1.25674455 161.894531 72.006159
    Unten links KachelX 7779 KachelY + 1 1694 2.82482562 1.25650752 161.850586 71.992578
    Unten rechts KachelX + 1 7780 KachelY + 1 1694 2.82559261 1.25650752 161.894531 71.992578
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25674455-1.25650752) × R
    0.000237030000000082 × 6371000     		dl = 1510.11813000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25674455-1.25650752) × R
    0.000237030000000082 × 6371000     		dr = 1510.11813000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82482562-2.82559261) × cos(1.25674455) × R
    0.000766990000000245 × 0.308914764890687 × 6371000     		do = 1509.50992582075m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82482562-2.82559261) × cos(1.25650752) × R
    0.000766990000000245 × 0.309140193008558 × 6371000     		du = 1510.6114788061m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25674455)-sin(1.25650752))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.308914764890687-0.309140193008558)×R²
    abs(2.82559261-2.82482562)×0.000225428117870463×R²
    0.000766990000000245×0.000225428117870463×6371000²
    0.000766990000000245×0.000225428117870463×40589641000000     		ar = 2280370.05464216m²