Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77789 / 57133
↖ ↑ ↗
← N 22.479568°
E 33.653870°		 ← 282.22 m → N 22.479568°
E 33.656616°		 →
↑
282.17 m
↓
↑
282.17 m
↓
N 22.477031°
E 33.653870°		 ← 282.22 m →
79 635 m²		 N 22.477031°
E 33.656616°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77789 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57133 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593486785888672 y=0.435894012451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593486785888672 × 217)
    floor (0.593486785888672 × 131072)
    floor (77789.5)     		tx = 77789
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435894012451172 × 217)
    floor (0.435894012451172 × 131072)
    floor (57133.5)     		ty = 57133
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77789 / 57133 ti = "17/77789/57133"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77789/57133.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77789 ÷ 217
    77789 ÷ 131072     		x = 0.593482971191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57133 ÷ 217
    57133 ÷ 131072     		y = 0.435890197753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593482971191406 × 2 - 1) × π
    0.186965942382812 × 3.1415926535     		Λ = 0.58737083
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.435890197753906 × 2 - 1) × π
    0.128219604492188 × 3.1415926535     		Φ = 0.402813767507332
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58737083} λ = 0.58737083}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.402813767507332))-π/2
    2×atan(1.4960282566476)-π/2
    2×0.981569404666812-π/2
    1.96313880933362-1.57079632675     		φ = 0.39234248
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58737083} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.653870°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39234248 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.479568°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77789 KachelY 57133 0.58737083 0.39234248 33.653870 22.479568
    Oben rechts KachelX + 1 77790 KachelY 57133 0.58741877 0.39234248 33.656616 22.479568
    Unten links KachelX 77789 KachelY + 1 57134 0.58737083 0.39229819 33.653870 22.477031
    Unten rechts KachelX + 1 77790 KachelY + 1 57134 0.58741877 0.39229819 33.656616 22.477031
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39234248-0.39229819) × R
    4.42900000000024e-05 × 6371000     		dl = 282.171590000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39234248-0.39229819) × R
    4.42900000000024e-05 × 6371000     		dr = 282.171590000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58737083-0.58741877) × cos(0.39234248) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.924015939327985 × 6371000     		do = 282.21825204086m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58737083-0.58741877) × cos(0.39229819) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.924032872878194 × 6371000     		du = 282.223423982963m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39234248)-sin(0.39229819))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.924015939327985-0.924032872878194)×R²
    abs(0.58741877-0.58737083)×1.69335502089307e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.69335502089307e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.69335502089307e-05×40589641000000     		ar = 79634.7026060646m²