Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77788 / 58978
↖ ↑ ↗
← N 17.722526°
E 33.651123°		 ← 290.93 m → N 17.722526°
E 33.653870°		 →
↑
290.90 m
↓
↑
290.90 m
↓
N 17.719910°
E 33.651123°		 ← 290.94 m →
84 632 m²		 N 17.719910°
E 33.653870°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77788 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58978 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593479156494141 y=0.449970245361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593479156494141 × 217)
    floor (0.593479156494141 × 131072)
    floor (77788.5)     		tx = 77788
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449970245361328 × 217)
    floor (0.449970245361328 × 131072)
    floor (58978.5)     		ty = 58978
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77788 / 58978 ti = "17/77788/58978"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77788/58978.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77788 ÷ 217
    77788 ÷ 131072     		x = 0.593475341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58978 ÷ 217
    58978 ÷ 131072     		y = 0.449966430664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593475341796875 × 2 - 1) × π
    0.18695068359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.58732289
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449966430664062 × 2 - 1) × π
    0.100067138671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.314370187708328
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58732289} λ = 0.58732289}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.314370187708328))-π/2
    2×atan(1.36939657650908)-π/2
    2×0.940056380525641-π/2
    1.88011276105128-1.57079632675     		φ = 0.30931643
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58732289} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.651123°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30931643 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.722526°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77788 KachelY 58978 0.58732289 0.30931643 33.651123 17.722526
    Oben rechts KachelX + 1 77789 KachelY 58978 0.58737083 0.30931643 33.653870 17.722526
    Unten links KachelX 77788 KachelY + 1 58979 0.58732289 0.30927077 33.651123 17.719910
    Unten rechts KachelX + 1 77789 KachelY + 1 58979 0.58737083 0.30927077 33.653870 17.719910
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30931643-0.30927077) × R
    4.56600000000029e-05 × 6371000     		dl = 290.899860000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30931643-0.30927077) × R
    4.56600000000029e-05 × 6371000     		dr = 290.899860000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58732289-0.58737083) × cos(0.30931643) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.952541876304121 × 6371000     		do = 290.930807450984m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58732289-0.58737083) × cos(0.30927077) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.952555774561207 × 6371000     		du = 290.935052336439m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30931643)-sin(0.30927077))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.952541876304121-0.952555774561207)×R²
    abs(0.58737083-0.58732289)×1.38982570857538e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.38982570857538e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.38982570857538e-05×40589641000000     		ar = 84632.3485901771m²