Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77788 / 57372
↖ ↑ ↗
← N 21.871694°
E 33.651123°		 ← 283.44 m → N 21.871694°
E 33.653870°		 →
↑
283.38 m
↓
↑
283.38 m
↓
N 21.869146°
E 33.651123°		 ← 283.45 m →
80 323 m²		 N 21.869146°
E 33.653870°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77788 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57372 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593479156494141 y=0.437717437744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593479156494141 × 217)
    floor (0.593479156494141 × 131072)
    floor (77788.5)     		tx = 77788
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437717437744141 × 217)
    floor (0.437717437744141 × 131072)
    floor (57372.5)     		ty = 57372
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77788 / 57372 ti = "17/77788/57372"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77788/57372.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77788 ÷ 217
    77788 ÷ 131072     		x = 0.593475341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57372 ÷ 217
    57372 ÷ 131072     		y = 0.437713623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593475341796875 × 2 - 1) × π
    0.18695068359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.58732289
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437713623046875 × 2 - 1) × π
    0.12457275390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.391356848498138
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58732289} λ = 0.58732289}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.391356848498138))-π/2
    2×atan(1.4789861932585)-π/2
    2×0.976264705579268-π/2
    1.95252941115854-1.57079632675     		φ = 0.38173308
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58732289} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.651123°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38173308 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.871694°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77788 KachelY 57372 0.58732289 0.38173308 33.651123 21.871694
    Oben rechts KachelX + 1 77789 KachelY 57372 0.58737083 0.38173308 33.653870 21.871694
    Unten links KachelX 77788 KachelY + 1 57373 0.58732289 0.38168860 33.651123 21.869146
    Unten rechts KachelX + 1 77789 KachelY + 1 57373 0.58737083 0.38168860 33.653870 21.869146
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38173308-0.38168860) × R
    4.44800000000134e-05 × 6371000     		dl = 283.382080000085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38173308-0.38168860) × R
    4.44800000000134e-05 × 6371000     		dr = 283.382080000085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58732289-0.58737083) × cos(0.38173308) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.928020406398633 × 6371000     		do = 283.441319359217m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58732289-0.58737083) × cos(0.38168860) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.928036975586604 × 6371000     		du = 283.446380015715m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38173308)-sin(0.38168860))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928020406398633-0.928036975586604)×R²
    abs(0.58737083-0.58732289)×1.6569187971216e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.6569187971216e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.6569187971216e-05×40589641000000     		ar = 80322.9077008644m²