Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77788 / 57322
↖ ↑ ↗
← N 21.999082°
E 33.651123°		 ← 283.19 m → N 21.999082°
E 33.653870°		 →
↑
283.19 m
↓
↑
283.19 m
↓
N 21.996535°
E 33.651123°		 ← 283.19 m →
80 197 m²		 N 21.996535°
E 33.653870°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77788 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57322 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593479156494141 y=0.437335968017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593479156494141 × 217)
    floor (0.593479156494141 × 131072)
    floor (77788.5)     		tx = 77788
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437335968017578 × 217)
    floor (0.437335968017578 × 131072)
    floor (57322.5)     		ty = 57322
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77788 / 57322 ti = "17/77788/57322"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77788/57322.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77788 ÷ 217
    77788 ÷ 131072     		x = 0.593475341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57322 ÷ 217
    57322 ÷ 131072     		y = 0.437332153320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593475341796875 × 2 - 1) × π
    0.18695068359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.58732289
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437332153320312 × 2 - 1) × π
    0.125335693359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.393753693479141
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58732289} λ = 0.58732289}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.393753693479141))-π/2
    2×atan(1.48253534557763)-π/2
    2×0.977376368814312-π/2
    1.95475273762862-1.57079632675     		φ = 0.38395641
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58732289} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.651123°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38395641 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.999082°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77788 KachelY 57322 0.58732289 0.38395641 33.651123 21.999082
    Oben rechts KachelX + 1 77789 KachelY 57322 0.58737083 0.38395641 33.653870 21.999082
    Unten links KachelX 77788 KachelY + 1 57323 0.58732289 0.38391196 33.651123 21.996535
    Unten rechts KachelX + 1 77789 KachelY + 1 57323 0.58737083 0.38391196 33.653870 21.996535
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38395641-0.38391196) × R
    4.44500000000292e-05 × 6371000     		dl = 283.190950000186m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38395641-0.38391196) × R
    4.44500000000292e-05 × 6371000     		dr = 283.190950000186m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58732289-0.58737083) × cos(0.38395641) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.927189857682749 × 6371000     		do = 283.187648403063m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58732289-0.58737083) × cos(0.38391196) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.927206507369385 × 6371000     		du = 283.192733645924m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38395641)-sin(0.38391196))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927189857682749-0.927206507369385)×R²
    abs(0.58737083-0.58732289)×1.66496866361721e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.66496866361721e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.66496866361721e-05×40589641000000     		ar = 80196.899240126m²