Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77787 / 57323
↖ ↑ ↗
← N 21.996535°
E 33.648377°		 ← 283.13 m → N 21.996535°
E 33.651123°		 →
↑
283.13 m
↓
↑
283.13 m
↓
N 21.993989°
E 33.648377°		 ← 283.14 m →
80 164 m²		 N 21.993989°
E 33.651123°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77787 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57323 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593471527099609 y=0.437343597412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593471527099609 × 217)
    floor (0.593471527099609 × 131072)
    floor (77787.5)     		tx = 77787
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437343597412109 × 217)
    floor (0.437343597412109 × 131072)
    floor (57323.5)     		ty = 57323
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77787 / 57323 ti = "17/77787/57323"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77787/57323.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77787 ÷ 217
    77787 ÷ 131072     		x = 0.593467712402344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57323 ÷ 217
    57323 ÷ 131072     		y = 0.437339782714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593467712402344 × 2 - 1) × π
    0.186935424804688 × 3.1415926535     		Λ = 0.58727496
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437339782714844 × 2 - 1) × π
    0.125320434570312 × 3.1415926535     		Φ = 0.393705756579521
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58727496} λ = 0.58727496}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.393705756579521))-π/2
    2×atan(1.48246427913295)-π/2
    2×0.977354145311228-π/2
    1.95470829062246-1.57079632675     		φ = 0.38391196
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58727496} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.648377°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38391196 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.996535°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77787 KachelY 57323 0.58727496 0.38391196 33.648377 21.996535
    Oben rechts KachelX + 1 77788 KachelY 57323 0.58732289 0.38391196 33.651123 21.996535
    Unten links KachelX 77787 KachelY + 1 57324 0.58727496 0.38386752 33.648377 21.993989
    Unten rechts KachelX + 1 77788 KachelY + 1 57324 0.58732289 0.38386752 33.651123 21.993989
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38391196-0.38386752) × R
    4.44399999999789e-05 × 6371000     		dl = 283.127239999866m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38391196-0.38386752) × R
    4.44399999999789e-05 × 6371000     		dr = 283.127239999866m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58727496-0.58732289) × cos(0.38391196) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.927206507369385 × 6371000     		do = 283.133661319699m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58727496-0.58732289) × cos(0.38386752) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.927223151478951 × 6371000     		du = 283.138743798783m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38391196)-sin(0.38386752))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927206507369385-0.927223151478951)×R²
    abs(0.58732289-0.58727496)×1.6644109566033e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.6644109566033e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.6644109566033e-05×40589641000000     		ar = 80163.571587894m²