Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77785 / 57130
↖ ↑ ↗
← N 22.487182°
E 33.642883°		 ← 282.20 m → N 22.487182°
E 33.645630°		 →
↑
282.17 m
↓
↑
282.17 m
↓
N 22.484644°
E 33.642883°		 ← 282.21 m →
79 630 m²		 N 22.484644°
E 33.645630°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77785 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57130 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593456268310547 y=0.435871124267578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593456268310547 × 217)
    floor (0.593456268310547 × 131072)
    floor (77785.5)     		tx = 77785
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435871124267578 × 217)
    floor (0.435871124267578 × 131072)
    floor (57130.5)     		ty = 57130
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77785 / 57130 ti = "17/77785/57130"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77785/57130.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77785 ÷ 217
    77785 ÷ 131072     		x = 0.593452453613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57130 ÷ 217
    57130 ÷ 131072     		y = 0.435867309570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593452453613281 × 2 - 1) × π
    0.186904907226562 × 3.1415926535     		Λ = 0.58717908
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.435867309570312 × 2 - 1) × π
    0.128265380859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.402957578206192
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58717908} λ = 0.58717908}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.402957578206192))-π/2
    2×atan(1.49624341698752)-π/2
    2×0.981635844528875-π/2
    1.96327168905775-1.57079632675     		φ = 0.39247536
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58717908} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.642883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39247536 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.487182°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77785 KachelY 57130 0.58717908 0.39247536 33.642883 22.487182
    Oben rechts KachelX + 1 77786 KachelY 57130 0.58722702 0.39247536 33.645630 22.487182
    Unten links KachelX 77785 KachelY + 1 57131 0.58717908 0.39243107 33.642883 22.484644
    Unten rechts KachelX + 1 77786 KachelY + 1 57131 0.58722702 0.39243107 33.645630 22.484644
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39247536-0.39243107) × R
    4.42900000000024e-05 × 6371000     		dl = 282.171590000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39247536-0.39243107) × R
    4.42900000000024e-05 × 6371000     		dr = 282.171590000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58717908-0.58722702) × cos(0.39247536) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.923965123977404 × 6371000     		do = 282.202731725459m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58717908-0.58722702) × cos(0.39243107) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.923982062965582 × 6371000     		du = 282.207905328458m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39247536)-sin(0.39243107))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.923965123977404-0.923982062965582)×R²
    abs(0.58722702-0.58717908)×1.69389881786719e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.69389881786719e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.69389881786719e-05×40589641000000     		ar = 79630.3234481988m²