Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77783 / 59078
↖ ↑ ↗
← N 17.460713°
E 33.637390°		 ← 291.35 m → N 17.460713°
E 33.640137°		 →
↑
291.35 m
↓
↑
291.35 m
↓
N 17.458093°
E 33.637390°		 ← 291.36 m →
84 885 m²		 N 17.458093°
E 33.640137°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77783 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59078 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593441009521484 y=0.450733184814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593441009521484 × 217)
    floor (0.593441009521484 × 131072)
    floor (77783.5)     		tx = 77783
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.450733184814453 × 217)
    floor (0.450733184814453 × 131072)
    floor (59078.5)     		ty = 59078
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77783 / 59078 ti = "17/77783/59078"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77783/59078.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77783 ÷ 217
    77783 ÷ 131072     		x = 0.593437194824219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59078 ÷ 217
    59078 ÷ 131072     		y = 0.450729370117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593437194824219 × 2 - 1) × π
    0.186874389648438 × 3.1415926535     		Λ = 0.58708321
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.450729370117188 × 2 - 1) × π
    0.098541259765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.309576497746323
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58708321} λ = 0.58708321}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.309576497746323))-π/2
    2×atan(1.36284782277435)-π/2
    2×0.93777162666414-π/2
    1.87554325332828-1.57079632675     		φ = 0.30474693
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58708321} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.637390°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30474693 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.460713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77783 KachelY 59078 0.58708321 0.30474693 33.637390 17.460713
    Oben rechts KachelX + 1 77784 KachelY 59078 0.58713115 0.30474693 33.640137 17.460713
    Unten links KachelX 77783 KachelY + 1 59079 0.58708321 0.30470120 33.637390 17.458093
    Unten rechts KachelX + 1 77784 KachelY + 1 59079 0.58713115 0.30470120 33.640137 17.458093
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30474693-0.30470120) × R
    4.57300000000216e-05 × 6371000     		dl = 291.345830000138m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30474693-0.30470120) × R
    4.57300000000216e-05 × 6371000     		dr = 291.345830000138m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58708321-0.58713115) × cos(0.30474693) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.953922917216476 × 6371000     		do = 291.352612894285m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58708321-0.58713115) × cos(0.30470120) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.95393663758673 × 6371000     		du = 291.356803448522m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30474693)-sin(0.30470120))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.953922917216476-0.95393663758673)×R²
    abs(0.58713115-0.58708321)×1.37203702534894e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.37203702534894e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.37203702534894e-05×40589641000000     		ar = 84884.9792914304m²