Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7778 / 1695
↖ ↑ ↗
← N 71.978988°
E161.806641°		 ← 1 511.71 m → N 71.978988°
E161.850586°		 →
↑
1 512.28 m
↓
↑
1 512.28 m
↓
N 71.965388°
E161.806641°		 ← 1 512.82 m →
2 286 975 m²		 N 71.965388°
E161.850586°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7778 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1695 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.94952392578125 y=0.20697021484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.94952392578125 × 213)
    floor (0.94952392578125 × 8192)
    floor (7778.5)     		tx = 7778
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.20697021484375 × 213)
    floor (0.20697021484375 × 8192)
    floor (1695.5)     		ty = 1695
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7778 / 1695 ti = "13/7778/1695"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7778/1695.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7778 ÷ 213
    7778 ÷ 8192     		x = 0.949462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1695 ÷ 213
    1695 ÷ 8192     		y = 0.2069091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.949462890625 × 2 - 1) × π
    0.89892578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.82405863
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2069091796875 × 2 - 1) × π
    0.586181640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.84154393580408
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82405863} λ = 2.82405863}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84154393580408))-π/2
    2×atan(6.30626722040135)-π/2
    2×1.41353332835826-π/2
    2.82706665671651-1.57079632675     		φ = 1.25627033
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82405863} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.806641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25627033 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.978988°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7778 KachelY 1695 2.82405863 1.25627033 161.806641 71.978988
    Oben rechts KachelX + 1 7779 KachelY 1695 2.82482562 1.25627033 161.850586 71.978988
    Unten links KachelX 7778 KachelY + 1 1696 2.82405863 1.25603296 161.806641 71.965388
    Unten rechts KachelX + 1 7779 KachelY + 1 1696 2.82482562 1.25603296 161.850586 71.965388
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25627033-1.25603296) × R
    0.000237370000000015 × 6371000     		dl = 1512.28427000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25627033-1.25603296) × R
    0.000237370000000015 × 6371000     		dr = 1512.28427000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82405863-2.82482562) × cos(1.25627033) × R
    0.000766989999999801 × 0.309365755908841 × 6371000     		do = 1511.71369040393m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82405863-2.82482562) × cos(1.25603296) × R
    0.000766989999999801 × 0.30959147256103 × 6371000     		du = 1512.8166533103m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25627033)-sin(1.25603296))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.309365755908841-0.30959147256103)×R²
    abs(2.82482562-2.82405863)×0.000225716652189956×R²
    0.000766989999999801×0.000225716652189956×6371000²
    0.000766989999999801×0.000225716652189956×40589641000000     		ar = 2286974.84220562m²