Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77778 / 57623
↖ ↑ ↗
← N 21.230502°
E 33.623658°		 ← 284.64 m → N 21.230502°
E 33.626404°		 →
↑
284.66 m
↓
↑
284.66 m
↓
N 21.227942°
E 33.623658°		 ← 284.64 m →
81 025 m²		 N 21.227942°
E 33.626404°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77778 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57623 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593402862548828 y=0.439632415771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593402862548828 × 217)
    floor (0.593402862548828 × 131072)
    floor (77778.5)     		tx = 77778
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439632415771484 × 217)
    floor (0.439632415771484 × 131072)
    floor (57623.5)     		ty = 57623
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77778 / 57623 ti = "17/77778/57623"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77778/57623.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77778 ÷ 217
    77778 ÷ 131072     		x = 0.593399047851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57623 ÷ 217
    57623 ÷ 131072     		y = 0.439628601074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593399047851562 × 2 - 1) × π
    0.186798095703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.58684353
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.439628601074219 × 2 - 1) × π
    0.120742797851562 × 3.1415926535     		Φ = 0.379324686693504
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58684353} λ = 0.58684353}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.379324686693504))-π/2
    2×atan(1.46129742255408)-π/2
    2×0.970669245157754-π/2
    1.94133849031551-1.57079632675     		φ = 0.37054216
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58684353} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.623658°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37054216 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.230502°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77778 KachelY 57623 0.58684353 0.37054216 33.623658 21.230502
    Oben rechts KachelX + 1 77779 KachelY 57623 0.58689146 0.37054216 33.626404 21.230502
    Unten links KachelX 77778 KachelY + 1 57624 0.58684353 0.37049748 33.623658 21.227942
    Unten rechts KachelX + 1 77779 KachelY + 1 57624 0.58689146 0.37049748 33.626404 21.227942
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37054216-0.37049748) × R
    4.46800000000191e-05 × 6371000     		dl = 284.656280000122m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37054216-0.37049748) × R
    4.46800000000191e-05 × 6371000     		dr = 284.656280000122m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58684353-0.58689146) × cos(0.37054216) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.93213115517008 × 6371000     		do = 284.637461769155m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58684353-0.58689146) × cos(0.37049748) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.932147333799217 × 6371000     		du = 284.642402108191m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37054216)-sin(0.37049748))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.93213115517008-0.932147333799217)×R²
    abs(0.58689146-0.58684353)×1.61786291373867e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.61786291373867e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.61786291373867e-05×40589641000000     		ar = 81024.5441786093m²