Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77778 / 57299
↖ ↑ ↗
← N 22.057642°
E 33.623658°		 ← 283.01 m → N 22.057642°
E 33.626404°		 →
↑
283.06 m
↓
↑
283.06 m
↓
N 22.055096°
E 33.623658°		 ← 283.02 m →
80 111 m²		 N 22.055096°
E 33.626404°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77778 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57299 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593402862548828 y=0.437160491943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593402862548828 × 217)
    floor (0.593402862548828 × 131072)
    floor (77778.5)     		tx = 77778
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437160491943359 × 217)
    floor (0.437160491943359 × 131072)
    floor (57299.5)     		ty = 57299
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77778 / 57299 ti = "17/77778/57299"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77778/57299.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77778 ÷ 217
    77778 ÷ 131072     		x = 0.593399047851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57299 ÷ 217
    57299 ÷ 131072     		y = 0.437156677246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593399047851562 × 2 - 1) × π
    0.186798095703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.58684353
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437156677246094 × 2 - 1) × π
    0.125686645507812 × 3.1415926535     		Φ = 0.394856242170403
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58684353} λ = 0.58684353}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.394856242170403))-π/2
    2×atan(1.48417081440898)-π/2
    2×0.97788739917074-π/2
    1.95577479834148-1.57079632675     		φ = 0.38497847
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58684353} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.623658°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38497847 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.057642°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77778 KachelY 57299 0.58684353 0.38497847 33.623658 22.057642
    Oben rechts KachelX + 1 77779 KachelY 57299 0.58689146 0.38497847 33.626404 22.057642
    Unten links KachelX 77778 KachelY + 1 57300 0.58684353 0.38493404 33.623658 22.055096
    Unten rechts KachelX + 1 77779 KachelY + 1 57300 0.58689146 0.38493404 33.626404 22.055096
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38497847-0.38493404) × R
    4.44300000000397e-05 × 6371000     		dl = 283.063530000253m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38497847-0.38493404) × R
    4.44300000000397e-05 × 6371000     		dr = 283.063530000253m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58684353-0.58689146) × cos(0.38497847) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.926806518246594 × 6371000     		do = 283.011519829185m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58684353-0.58689146) × cos(0.38493404) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.926823202537706 × 6371000     		du = 283.016614578188m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38497847)-sin(0.38493404))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.926806518246594-0.926823202537706)×R²
    abs(0.58689146-0.58684353)×1.66842911119014e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.66842911119014e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.66842911119014e-05×40589641000000     		ar = 80110.9609156103m²