Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77777 / 57199
↖ ↑ ↗
← N 22.311967°
E 33.620911°		 ← 282.56 m → N 22.311967°
E 33.623658°		 →
↑
282.49 m
↓
↑
282.49 m
↓
N 22.309426°
E 33.620911°		 ← 282.56 m →
79 821 m²		 N 22.309426°
E 33.623658°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77777 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57199 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593395233154297 y=0.436397552490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593395233154297 × 217)
    floor (0.593395233154297 × 131072)
    floor (77777.5)     		tx = 77777
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436397552490234 × 217)
    floor (0.436397552490234 × 131072)
    floor (57199.5)     		ty = 57199
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77777 / 57199 ti = "17/77777/57199"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77777/57199.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77777 ÷ 217
    77777 ÷ 131072     		x = 0.593391418457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57199 ÷ 217
    57199 ÷ 131072     		y = 0.436393737792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593391418457031 × 2 - 1) × π
    0.186782836914062 × 3.1415926535     		Λ = 0.58679559
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.436393737792969 × 2 - 1) × π
    0.127212524414062 × 3.1415926535     		Φ = 0.399649932132408
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58679559} λ = 0.58679559}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.399649932132408))-π/2
    2×atan(1.49130254914958)-π/2
    2×0.980106805115794-π/2
    1.96021361023159-1.57079632675     		φ = 0.38941728
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58679559} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.620911°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38941728 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.311967°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77777 KachelY 57199 0.58679559 0.38941728 33.620911 22.311967
    Oben rechts KachelX + 1 77778 KachelY 57199 0.58684353 0.38941728 33.623658 22.311967
    Unten links KachelX 77777 KachelY + 1 57200 0.58679559 0.38937294 33.620911 22.309426
    Unten rechts KachelX + 1 77778 KachelY + 1 57200 0.58684353 0.38937294 33.623658 22.309426
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38941728-0.38937294) × R
    4.43399999999761e-05 × 6371000     		dl = 282.490139999847m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38941728-0.38937294) × R
    4.43399999999761e-05 × 6371000     		dr = 282.490139999847m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58679559-0.58684353) × cos(0.38941728) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.925130446205778 × 6371000     		do = 282.558651128745m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58679559-0.58684353) × cos(0.38937294) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.925147278950199 × 6371000     		du = 282.563792282166m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38941728)-sin(0.38937294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.925130446205778-0.925147278950199)×R²
    abs(0.58684353-0.58679559)×1.68327444208805e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.68327444208805e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.68327444208805e-05×40589641000000     		ar = 79820.7590912242m²