Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77777 / 57110
↖ ↑ ↗
← N 22.537927°
E 33.620911°		 ← 282.10 m → N 22.537927°
E 33.623658°		 →
↑
282.11 m
↓
↑
282.11 m
↓
N 22.535390°
E 33.620911°		 ← 282.10 m →
79 583 m²		 N 22.535390°
E 33.623658°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77777 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57110 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593395233154297 y=0.435718536376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593395233154297 × 217)
    floor (0.593395233154297 × 131072)
    floor (77777.5)     		tx = 77777
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435718536376953 × 217)
    floor (0.435718536376953 × 131072)
    floor (57110.5)     		ty = 57110
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77777 / 57110 ti = "17/77777/57110"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77777/57110.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77777 ÷ 217
    77777 ÷ 131072     		x = 0.593391418457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57110 ÷ 217
    57110 ÷ 131072     		y = 0.435714721679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593391418457031 × 2 - 1) × π
    0.186782836914062 × 3.1415926535     		Λ = 0.58679559
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.435714721679688 × 2 - 1) × π
    0.128570556640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.403916316198593
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58679559} λ = 0.58679559}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.403916316198593))-π/2
    2×atan(1.49767861027449)-π/2
    2×0.982078683506178-π/2
    1.96415736701236-1.57079632675     		φ = 0.39336104
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58679559} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.620911°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39336104 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.537927°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77777 KachelY 57110 0.58679559 0.39336104 33.620911 22.537927
    Oben rechts KachelX + 1 77778 KachelY 57110 0.58684353 0.39336104 33.623658 22.537927
    Unten links KachelX 77777 KachelY + 1 57111 0.58679559 0.39331676 33.620911 22.535390
    Unten rechts KachelX + 1 77778 KachelY + 1 57111 0.58684353 0.39331676 33.623658 22.535390
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39336104-0.39331676) × R
    4.42800000000076e-05 × 6371000     		dl = 282.107880000049m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39336104-0.39331676) × R
    4.42800000000076e-05 × 6371000     		dr = 282.107880000049m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58679559-0.58684353) × cos(0.39336104) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.923626009638151 × 6371000     		do = 282.099157476794m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58679559-0.58684353) × cos(0.39331676) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.923642981031638 × 6371000     		du = 282.104340977209m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39336104)-sin(0.39331676))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.923626009638151-0.923642981031638)×R²
    abs(0.58684353-0.58679559)×1.69713934872195e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.69713934872195e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.69713934872195e-05×40589641000000     		ar = 79583.1264317642m²