Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77777 / 57039
↖ ↑ ↗
← N 22.717923°
E 33.620911°		 ← 281.73 m → N 22.717923°
E 33.623658°		 →
↑
281.66 m
↓
↑
281.66 m
↓
N 22.715390°
E 33.620911°		 ← 281.74 m →
79 353 m²		 N 22.715390°
E 33.623658°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77777 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57039 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593395233154297 y=0.435176849365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593395233154297 × 217)
    floor (0.593395233154297 × 131072)
    floor (77777.5)     		tx = 77777
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435176849365234 × 217)
    floor (0.435176849365234 × 131072)
    floor (57039.5)     		ty = 57039
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77777 / 57039 ti = "17/77777/57039"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77777/57039.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77777 ÷ 217
    77777 ÷ 131072     		x = 0.593391418457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57039 ÷ 217
    57039 ÷ 131072     		y = 0.435173034667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593391418457031 × 2 - 1) × π
    0.186782836914062 × 3.1415926535     		Λ = 0.58679559
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.435173034667969 × 2 - 1) × π
    0.129653930664062 × 3.1415926535     		Φ = 0.407319836071617
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58679559} λ = 0.58679559}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.407319836071617))-π/2
    2×atan(1.50278467355286)-π/2
    2×0.983649445866079-π/2
    1.96729889173216-1.57079632675     		φ = 0.39650256
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58679559} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.620911°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39650256 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.717923°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77777 KachelY 57039 0.58679559 0.39650256 33.620911 22.717923
    Oben rechts KachelX + 1 77778 KachelY 57039 0.58684353 0.39650256 33.623658 22.717923
    Unten links KachelX 77777 KachelY + 1 57040 0.58679559 0.39645835 33.620911 22.715390
    Unten rechts KachelX + 1 77778 KachelY + 1 57040 0.58684353 0.39645835 33.623658 22.715390
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39650256-0.39645835) × R
    4.4209999999989e-05 × 6371000     		dl = 281.66190999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39650256-0.39645835) × R
    4.4209999999989e-05 × 6371000     		dr = 281.66190999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58679559-0.58684353) × cos(0.39650256) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.922417325270236 × 6371000     		do = 281.729994159298m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58679559-0.58684353) × cos(0.39645835) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.922434398032567 × 6371000     		du = 281.735208620366m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39650256)-sin(0.39645835))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.922417325270236-0.922434398032567)×R²
    abs(0.58684353-0.58679559)×1.70727623305389e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.70727623305389e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.70727623305389e-05×40589641000000     		ar = 79353.3426296143m²