Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77776 / 57232
↖ ↑ ↗
← N 22.228090°
E 33.618164°		 ← 282.73 m → N 22.228090°
E 33.620911°		 →
↑
282.68 m
↓
↑
282.68 m
↓
N 22.225548°
E 33.618164°		 ← 282.73 m →
79 923 m²		 N 22.225548°
E 33.620911°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77776 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57232 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593387603759766 y=0.436649322509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593387603759766 × 217)
    floor (0.593387603759766 × 131072)
    floor (77776.5)     		tx = 77776
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436649322509766 × 217)
    floor (0.436649322509766 × 131072)
    floor (57232.5)     		ty = 57232
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77776 / 57232 ti = "17/77776/57232"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77776/57232.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77776 ÷ 217
    77776 ÷ 131072     		x = 0.5933837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57232 ÷ 217
    57232 ÷ 131072     		y = 0.4366455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5933837890625 × 2 - 1) × π
    0.186767578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.58674765
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4366455078125 × 2 - 1) × π
    0.126708984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.398068014444946
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58674765} λ = 0.58674765}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.398068014444946))-π/2
    2×atan(1.48894529625133)-π/2
    2×0.979374845494126-π/2
    1.95874969098825-1.57079632675     		φ = 0.38795336
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58674765} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.618164°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38795336 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.228090°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77776 KachelY 57232 0.58674765 0.38795336 33.618164 22.228090
    Oben rechts KachelX + 1 77777 KachelY 57232 0.58679559 0.38795336 33.620911 22.228090
    Unten links KachelX 77776 KachelY + 1 57233 0.58674765 0.38790899 33.618164 22.225548
    Unten rechts KachelX + 1 77777 KachelY + 1 57233 0.58679559 0.38790899 33.620911 22.225548
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38795336-0.38790899) × R
    4.43700000000158e-05 × 6371000     		dl = 282.681270000101m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38795336-0.38790899) × R
    4.43700000000158e-05 × 6371000     		dr = 282.681270000101m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58674765-0.58679559) × cos(0.38795336) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.925685231033092 × 6371000     		do = 282.728096695823m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58674765-0.58679559) × cos(0.38790899) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.925702015056146 × 6371000     		du = 282.733222968484m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38795336)-sin(0.38790899))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.925685231033092-0.925702015056146)×R²
    abs(0.58679559-0.58674765)×1.67840230532734e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.67840230532734e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.67840230532734e-05×40589641000000     		ar = 79922.6620023703m²