Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77775 / 83573
↖ ↑ ↗
← S 44.317953°
E 33.615417°		 ← 218.52 m → S 44.317953°
E 33.618164°		 →
↑
218.53 m
↓
↑
218.53 m
↓
S 44.319918°
E 33.615417°		 ← 218.52 m →
47 752 m²		 S 44.319918°
E 33.618164°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77775 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83573 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593379974365234 y=0.637615203857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593379974365234 × 217)
    floor (0.593379974365234 × 131072)
    floor (77775.5)     		tx = 77775
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637615203857422 × 217)
    floor (0.637615203857422 × 131072)
    floor (83573.5)     		ty = 83573
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77775 / 83573 ti = "17/77775/83573"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77775/83573.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77775 ÷ 217
    77775 ÷ 131072     		x = 0.593376159667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83573 ÷ 217
    83573 ÷ 131072     		y = 0.637611389160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593376159667969 × 2 - 1) × π
    0.186752319335938 × 3.1415926535     		Λ = 0.58669971
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637611389160156 × 2 - 1) × π
    -0.275222778320312 × 3.1415926535     		Φ = -0.864637858446953
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58669971} λ = 0.58669971}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.864637858446953))-π/2
    2×atan(0.421204060503555)-π/2
    2×0.398651064210053-π/2
    0.797302128420105-1.57079632675     		φ = -0.77349420
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58669971} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.615417°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77349420 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.317953°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77775 KachelY 83573 0.58669971 -0.77349420 33.615417 -44.317953
    Oben rechts KachelX + 1 77776 KachelY 83573 0.58674765 -0.77349420 33.618164 -44.317953
    Unten links KachelX 77775 KachelY + 1 83574 0.58669971 -0.77352850 33.615417 -44.319918
    Unten rechts KachelX + 1 77776 KachelY + 1 83574 0.58674765 -0.77352850 33.618164 -44.319918
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77349420--0.77352850) × R
    3.42999999999316e-05 × 6371000     		dl = 218.525299999564m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77349420--0.77352850) × R
    3.42999999999316e-05 × 6371000     		dr = 218.525299999564m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58669971-0.58674765) × cos(-0.77349420) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.715473856173025 × 6371000     		do = 218.524131972156m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58669971-0.58674765) × cos(-0.77352850) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.715449892417056 × 6371000     		du = 218.516812824256m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77349420)-sin(-0.77352850))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.715473856173025-0.715449892417056)×R²
    abs(0.58674765-0.58669971)×2.39637559689143e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39637559689143e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39637559689143e-05×40589641000000     		ar = 47752.2517914006m²