Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77775 / 58128
↖ ↑ ↗
← N 19.932041°
E 33.615417°		 ← 287.13 m → N 19.932041°
E 33.618164°		 →
↑
287.14 m
↓
↑
287.14 m
↓
N 19.929459°
E 33.615417°		 ← 287.13 m →
82 447 m²		 N 19.929459°
E 33.618164°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77775 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58128 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593379974365234 y=0.443485260009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593379974365234 × 217)
    floor (0.593379974365234 × 131072)
    floor (77775.5)     		tx = 77775
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443485260009766 × 217)
    floor (0.443485260009766 × 131072)
    floor (58128.5)     		ty = 58128
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77775 / 58128 ti = "17/77775/58128"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77775/58128.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77775 ÷ 217
    77775 ÷ 131072     		x = 0.593376159667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58128 ÷ 217
    58128 ÷ 131072     		y = 0.4434814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593376159667969 × 2 - 1) × π
    0.186752319335938 × 3.1415926535     		Λ = 0.58669971
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4434814453125 × 2 - 1) × π
    0.113037109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.355116552385376
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58669971} λ = 0.58669971}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.355116552385376))-π/2
    2×atan(1.42634688872604)-π/2
    2×0.959338037110291-π/2
    1.91867607422058-1.57079632675     		φ = 0.34787975
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58669971} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.615417°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34787975 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.932041°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77775 KachelY 58128 0.58669971 0.34787975 33.615417 19.932041
    Oben rechts KachelX + 1 77776 KachelY 58128 0.58674765 0.34787975 33.618164 19.932041
    Unten links KachelX 77775 KachelY + 1 58129 0.58669971 0.34783468 33.615417 19.929459
    Unten rechts KachelX + 1 77776 KachelY + 1 58129 0.58674765 0.34783468 33.618164 19.929459
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34787975-0.34783468) × R
    4.50699999999804e-05 × 6371000     		dl = 287.140969999875m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34787975-0.34783468) × R
    4.50699999999804e-05 × 6371000     		dr = 287.140969999875m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58669971-0.58674765) × cos(0.34787975) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.940097629923449 × 6371000     		do = 287.130014291427m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58669971-0.58674765) × cos(0.34783468) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.940112993571999 × 6371000     		du = 287.134706745155m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34787975)-sin(0.34783468))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.940097629923449-0.940112993571999)×R²
    abs(0.58674765-0.58669971)×1.53636485501485e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.53636485501485e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.53636485501485e-05×40589641000000     		ar = 82447.4645314853m²