Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77775 / 57233
↖ ↑ ↗
← N 22.225548°
E 33.615417°		 ← 282.73 m → N 22.225548°
E 33.618164°		 →
↑
282.74 m
↓
↑
282.74 m
↓
N 22.223005°
E 33.615417°		 ← 282.74 m →
79 942 m²		 N 22.223005°
E 33.618164°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77775 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57233 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593379974365234 y=0.436656951904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593379974365234 × 217)
    floor (0.593379974365234 × 131072)
    floor (77775.5)     		tx = 77775
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436656951904297 × 217)
    floor (0.436656951904297 × 131072)
    floor (57233.5)     		ty = 57233
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77775 / 57233 ti = "17/77775/57233"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77775/57233.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77775 ÷ 217
    77775 ÷ 131072     		x = 0.593376159667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57233 ÷ 217
    57233 ÷ 131072     		y = 0.436653137207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593376159667969 × 2 - 1) × π
    0.186752319335938 × 3.1415926535     		Λ = 0.58669971
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.436653137207031 × 2 - 1) × π
    0.126693725585938 × 3.1415926535     		Φ = 0.398020077545326
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58669971} λ = 0.58669971}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.398020077545326))-π/2
    2×atan(1.48887392254086)-π/2
    2×0.979352658052996-π/2
    1.95870531610599-1.57079632675     		φ = 0.38790899
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58669971} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.615417°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38790899 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.225548°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77775 KachelY 57233 0.58669971 0.38790899 33.615417 22.225548
    Oben rechts KachelX + 1 77776 KachelY 57233 0.58674765 0.38790899 33.618164 22.225548
    Unten links KachelX 77775 KachelY + 1 57234 0.58669971 0.38786461 33.615417 22.223005
    Unten rechts KachelX + 1 77776 KachelY + 1 57234 0.58674765 0.38786461 33.618164 22.223005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38790899-0.38786461) × R
    4.43800000000105e-05 × 6371000     		dl = 282.744980000067m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38790899-0.38786461) × R
    4.43800000000105e-05 × 6371000     		dr = 282.744980000067m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58669971-0.58674765) × cos(0.38790899) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.925702015056146 × 6371000     		do = 282.733222967829m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58669971-0.58674765) × cos(0.38786461) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.925718801038897 × 6371000     		du = 282.738349839033m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38790899)-sin(0.38786461))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.925702015056146-0.925718801038897)×R²
    abs(0.58674765-0.58669971)×1.6785982751566e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.6785982751566e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.6785982751566e-05×40589641000000     		ar = 79942.1242851457m²