Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77775 / 57168
↖ ↑ ↗
← N 22.390714°
E 33.615417°		 ← 282.40 m → N 22.390714°
E 33.618164°		 →
↑
282.36 m
↓
↑
282.36 m
↓
N 22.388175°
E 33.615417°		 ← 282.40 m →
79 740 m²		 N 22.388175°
E 33.618164°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77775 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57168 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593379974365234 y=0.436161041259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593379974365234 × 217)
    floor (0.593379974365234 × 131072)
    floor (77775.5)     		tx = 77775
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436161041259766 × 217)
    floor (0.436161041259766 × 131072)
    floor (57168.5)     		ty = 57168
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77775 / 57168 ti = "17/77775/57168"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77775/57168.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77775 ÷ 217
    77775 ÷ 131072     		x = 0.593376159667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57168 ÷ 217
    57168 ÷ 131072     		y = 0.4361572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593376159667969 × 2 - 1) × π
    0.186752319335938 × 3.1415926535     		Λ = 0.58669971
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4361572265625 × 2 - 1) × π
    0.127685546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.40113597602063
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58669971} λ = 0.58669971}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.40113597602063))-π/2
    2×atan(1.49352033764562)-π/2
    2×0.980794003252622-π/2
    1.96158800650524-1.57079632675     		φ = 0.39079168
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58669971} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.615417°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39079168 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.390714°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77775 KachelY 57168 0.58669971 0.39079168 33.615417 22.390714
    Oben rechts KachelX + 1 77776 KachelY 57168 0.58674765 0.39079168 33.618164 22.390714
    Unten links KachelX 77775 KachelY + 1 57169 0.58669971 0.39074736 33.615417 22.388175
    Unten rechts KachelX + 1 77776 KachelY + 1 57169 0.58674765 0.39074736 33.618164 22.388175
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39079168-0.39074736) × R
    4.43199999999866e-05 × 6371000     		dl = 282.362719999915m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39079168-0.39074736) × R
    4.43199999999866e-05 × 6371000     		dr = 282.362719999915m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58669971-0.58674765) × cos(0.39079168) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.924607782477568 × 6371000     		do = 282.399016172785m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58669971-0.58674765) × cos(0.39074736) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.924624663967273 × 6371000     		du = 282.404172214271m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39079168)-sin(0.39074736))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.924607782477568-0.924624663967273)×R²
    abs(0.58674765-0.58669971)×1.68814897052449e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.68814897052449e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.68814897052449e-05×40589641000000     		ar = 79739.6822818277m²