Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77774 / 58257
↖ ↑ ↗
← N 19.598607°
E 33.612671°		 ← 287.67 m → N 19.598607°
E 33.615417°		 →
↑
287.71 m
↓
↑
287.71 m
↓
N 19.596019°
E 33.612671°		 ← 287.68 m →
82 768 m²		 N 19.596019°
E 33.615417°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77774 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58257 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593372344970703 y=0.444469451904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593372344970703 × 217)
    floor (0.593372344970703 × 131072)
    floor (77774.5)     		tx = 77774
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444469451904297 × 217)
    floor (0.444469451904297 × 131072)
    floor (58257.5)     		ty = 58257
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77774 / 58257 ti = "17/77774/58257"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77774/58257.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77774 ÷ 217
    77774 ÷ 131072     		x = 0.593368530273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58257 ÷ 217
    58257 ÷ 131072     		y = 0.444465637207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593368530273438 × 2 - 1) × π
    0.186737060546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58665178
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444465637207031 × 2 - 1) × π
    0.111068725585938 × 3.1415926535     		Φ = 0.348932692334389
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58665178} λ = 0.58665178}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.348932692334389))-π/2
    2×atan(1.41755377489546)-π/2
    2×0.956428271440371-π/2
    1.91285654288074-1.57079632675     		φ = 0.34206022
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58665178} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.612671°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34206022 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.598607°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77774 KachelY 58257 0.58665178 0.34206022 33.612671 19.598607
    Oben rechts KachelX + 1 77775 KachelY 58257 0.58669971 0.34206022 33.615417 19.598607
    Unten links KachelX 77774 KachelY + 1 58258 0.58665178 0.34201506 33.612671 19.596019
    Unten rechts KachelX + 1 77775 KachelY + 1 58258 0.58669971 0.34201506 33.615417 19.596019
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34206022-0.34201506) × R
    4.51600000000441e-05 × 6371000     		dl = 287.714360000281m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34206022-0.34201506) × R
    4.51600000000441e-05 × 6371000     		dr = 287.714360000281m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58665178-0.58669971) × cos(0.34206022) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.942065608473991 × 6371000     		do = 287.671066596979m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58665178-0.58669971) × cos(0.34201506) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.942080755471863 × 6371000     		du = 287.675691914998m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34206022)-sin(0.34201506))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.942065608473991-0.942080755471863)×R²
    abs(0.58669971-0.58665178)×1.51469978717511e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.51469978717511e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.51469978717511e-05×40589641000000     		ar = 82767.7622158162m²