Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77772 / 57404
↖ ↑ ↗
← N 21.790107°
E 33.607178°		 ← 283.60 m → N 21.790107°
E 33.609924°		 →
↑
283.57 m
↓
↑
283.57 m
↓
N 21.787557°
E 33.607178°		 ← 283.61 m →
80 423 m²		 N 21.787557°
E 33.609924°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77772 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57404 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593357086181641 y=0.437961578369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593357086181641 × 217)
    floor (0.593357086181641 × 131072)
    floor (77772.5)     		tx = 77772
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437961578369141 × 217)
    floor (0.437961578369141 × 131072)
    floor (57404.5)     		ty = 57404
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77772 / 57404 ti = "17/77772/57404"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77772/57404.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77772 ÷ 217
    77772 ÷ 131072     		x = 0.593353271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57404 ÷ 217
    57404 ÷ 131072     		y = 0.437957763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593353271484375 × 2 - 1) × π
    0.18670654296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58655590
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437957763671875 × 2 - 1) × π
    0.12408447265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.389822867710297
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58655590} λ = 0.58655590}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.389822867710297))-π/2
    2×atan(1.47671919606217)-π/2
    2×0.975552719670129-π/2
    1.95110543934026-1.57079632675     		φ = 0.38030911
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58655590} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.607178°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38030911 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.790107°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77772 KachelY 57404 0.58655590 0.38030911 33.607178 21.790107
    Oben rechts KachelX + 1 77773 KachelY 57404 0.58660384 0.38030911 33.609924 21.790107
    Unten links KachelX 77772 KachelY + 1 57405 0.58655590 0.38026460 33.607178 21.787557
    Unten rechts KachelX + 1 77773 KachelY + 1 57405 0.58660384 0.38026460 33.609924 21.787557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38030911-0.38026460) × R
    4.45099999999976e-05 × 6371000     		dl = 283.573209999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38030911-0.38026460) × R
    4.45099999999976e-05 × 6371000     		dr = 283.573209999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58655590-0.58660384) × cos(0.38030911) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.928549935985551 × 6371000     		do = 283.603051325154m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58655590-0.58660384) × cos(0.38026460) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.928566457512076 × 6371000     		du = 283.608097424618m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38030911)-sin(0.38026460))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928549935985551-0.928566457512076)×R²
    abs(0.58660384-0.58655590)×1.65215265248708e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.65215265248708e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.65215265248708e-05×40589641000000     		ar = 80422.9431125826m²