Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77770 / 83458
↖ ↑ ↗
← S 44.091531°
E 33.601685°		 ← 219.37 m → S 44.091531°
E 33.604431°		 →
↑
219.35 m
↓
↑
219.35 m
↓
S 44.093503°
E 33.601685°		 ← 219.36 m →
48 118 m²		 S 44.093503°
E 33.604431°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77770 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83458 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593341827392578 y=0.636737823486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593341827392578 × 217)
    floor (0.593341827392578 × 131072)
    floor (77770.5)     		tx = 77770
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636737823486328 × 217)
    floor (0.636737823486328 × 131072)
    floor (83458.5)     		ty = 83458
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77770 / 83458 ti = "17/77770/83458"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77770/83458.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77770 ÷ 217
    77770 ÷ 131072     		x = 0.593338012695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83458 ÷ 217
    83458 ÷ 131072     		y = 0.636734008789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593338012695312 × 2 - 1) × π
    0.186676025390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.58646003
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636734008789062 × 2 - 1) × π
    -0.273468017578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.859125114990646
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58646003} λ = 0.58646003}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.859125114990646))-π/2
    2×atan(0.423532462476495)-π/2
    2×0.400626973580803-π/2
    0.801253947161606-1.57079632675     		φ = -0.76954238
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58646003} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.601685°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76954238 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.091531°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77770 KachelY 83458 0.58646003 -0.76954238 33.601685 -44.091531
    Oben rechts KachelX + 1 77771 KachelY 83458 0.58650797 -0.76954238 33.604431 -44.091531
    Unten links KachelX 77770 KachelY + 1 83459 0.58646003 -0.76957681 33.601685 -44.093503
    Unten rechts KachelX + 1 77771 KachelY + 1 83459 0.58650797 -0.76957681 33.604431 -44.093503
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76954238--0.76957681) × R
    3.44300000000297e-05 × 6371000     		dl = 219.353530000189m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76954238--0.76957681) × R
    3.44300000000297e-05 × 6371000     		dr = 219.353530000189m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58646003-0.58650797) × cos(-0.76954238) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.718229159836713 × 6371000     		do = 219.365672632563m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58646003-0.58650797) × cos(-0.76957681) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.718205202788555 × 6371000     		du = 219.358355533401m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76954238)-sin(-0.76957681))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.718229159836713-0.718205202788555)×R²
    abs(0.58650797-0.58646003)×2.395704815783e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.395704815783e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.395704815783e-05×40589641000000     		ar = 48117.8321418082m²