Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77770 / 57220
↖ ↑ ↗
← N 22.258597°
E 33.601685°		 ← 282.67 m → N 22.258597°
E 33.604431°		 →
↑
282.68 m
↓
↑
282.68 m
↓
N 22.256055°
E 33.601685°		 ← 282.67 m →
79 905 m²		 N 22.256055°
E 33.604431°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77770 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57220 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593341827392578 y=0.436557769775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593341827392578 × 217)
    floor (0.593341827392578 × 131072)
    floor (77770.5)     		tx = 77770
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436557769775391 × 217)
    floor (0.436557769775391 × 131072)
    floor (57220.5)     		ty = 57220
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77770 / 57220 ti = "17/77770/57220"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77770/57220.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77770 ÷ 217
    77770 ÷ 131072     		x = 0.593338012695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57220 ÷ 217
    57220 ÷ 131072     		y = 0.436553955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593338012695312 × 2 - 1) × π
    0.186676025390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.58646003
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.436553955078125 × 2 - 1) × π
    0.12689208984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.398643257240387
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58646003} λ = 0.58646003}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.398643257240387))-π/2
    2×atan(1.48980204770223)-π/2
    2×0.979641063394029-π/2
    1.95928212678806-1.57079632675     		φ = 0.38848580
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58646003} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.601685°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38848580 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.258597°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77770 KachelY 57220 0.58646003 0.38848580 33.601685 22.258597
    Oben rechts KachelX + 1 77771 KachelY 57220 0.58650797 0.38848580 33.604431 22.258597
    Unten links KachelX 77770 KachelY + 1 57221 0.58646003 0.38844143 33.601685 22.256055
    Unten rechts KachelX + 1 77771 KachelY + 1 57221 0.58650797 0.38844143 33.604431 22.256055
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38848580-0.38844143) × R
    4.43700000000158e-05 × 6371000     		dl = 282.681270000101m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38848580-0.38844143) × R
    4.43700000000158e-05 × 6371000     		dr = 282.681270000101m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58646003-0.58650797) × cos(0.38848580) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.925483680619203 × 6371000     		do = 282.666538010859m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58646003-0.58650797) × cos(0.38844143) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.925500486508798 × 6371000     		du = 282.671670962124m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38848580)-sin(0.38844143))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.925483680619203-0.925500486508798)×R²
    abs(0.58650797-0.58646003)×1.68058895950729e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.68058895950729e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.68058895950729e-05×40589641000000     		ar = 79905.2614591351m²