Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7777 / 3234
↖ ↑ ↗
← N 73.009755°
W  9.118653°		 ← 713.95 m → N 73.009755°
W  9.096680°		 →
↑
714.06 m
↓
↑
714.06 m
↓
N 73.003333°
W  9.118653°		 ← 714.21 m →
509 896 m²		 N 73.003333°
W  9.096680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7777 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3234 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474700927734375 y=0.197418212890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474700927734375 × 214)
    floor (0.474700927734375 × 16384)
    floor (7777.5)     		tx = 7777
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.197418212890625 × 214)
    floor (0.197418212890625 × 16384)
    floor (3234.5)     		ty = 3234
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7777 / 3234 ti = "14/7777/3234"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7777/3234.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7777 ÷ 214
    7777 ÷ 16384     		x = 0.47467041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3234 ÷ 214
    3234 ÷ 16384     		y = 0.1973876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47467041015625 × 2 - 1) × π
    -0.0506591796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15915051
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1973876953125 × 2 - 1) × π
    0.605224609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.90136918652991
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15915051} λ = -0.15915051}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90136918652991))-π/2
    2×atan(6.69505494867993)-π/2
    2×1.42252846940741-π/2
    2.84505693881481-1.57079632675     		φ = 1.27426061
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15915051} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.118653°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27426061 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.009755°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7777 KachelY 3234 -0.15915051 1.27426061 -9.118653 73.009755
    Oben rechts KachelX + 1 7778 KachelY 3234 -0.15876701 1.27426061 -9.096680 73.009755
    Unten links KachelX 7777 KachelY + 1 3235 -0.15915051 1.27414853 -9.118653 73.003333
    Unten rechts KachelX + 1 7778 KachelY + 1 3235 -0.15876701 1.27414853 -9.096680 73.003333
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27426061-1.27414853) × R
    0.00011208000000007 × 6371000     		dl = 714.061680000445m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27426061-1.27414853) × R
    0.00011208000000007 × 6371000     		dr = 714.061680000445m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15915051--0.15876701) × cos(1.27426061) × R
    0.000383500000000009 × 0.292208883821274 × 6371000     		do = 713.947683349534m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15915051--0.15876701) × cos(1.27414853) × R
    0.000383500000000009 × 0.292316070200316 × 6371000     		du = 714.209569524938m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27426061)-sin(1.27414853))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292208883821274-0.292316070200316)×R²
    abs(-0.15876701--0.15915051)×0.000107186379041113×R²
    0.000383500000000009×0.000107186379041113×6371000²
    0.000383500000000009×0.000107186379041113×40589641000000     		ar = 509896.184178677m²