Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77769 / 83574
↖ ↑ ↗
← S 44.319918°
E 33.598938°		 ← 218.52 m → S 44.319918°
E 33.601685°		 →
↑
218.46 m
↓
↑
218.46 m
↓
S 44.321883°
E 33.598938°		 ← 218.51 m →
47 737 m²		 S 44.321883°
E 33.601685°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77769 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83574 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593334197998047 y=0.637622833251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593334197998047 × 217)
    floor (0.593334197998047 × 131072)
    floor (77769.5)     		tx = 77769
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637622833251953 × 217)
    floor (0.637622833251953 × 131072)
    floor (83574.5)     		ty = 83574
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77769 / 83574 ti = "17/77769/83574"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77769/83574.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77769 ÷ 217
    77769 ÷ 131072     		x = 0.593330383300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83574 ÷ 217
    83574 ÷ 131072     		y = 0.637619018554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593330383300781 × 2 - 1) × π
    0.186660766601562 × 3.1415926535     		Λ = 0.58641209
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637619018554688 × 2 - 1) × π
    -0.275238037109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.864685795346573
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58641209} λ = 0.58641209}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.864685795346573))-π/2
    2×atan(0.421183869770732)-π/2
    2×0.398633915697975-π/2
    0.797267831395951-1.57079632675     		φ = -0.77352850
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58641209} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.598938°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77352850 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.319918°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77769 KachelY 83574 0.58641209 -0.77352850 33.598938 -44.319918
    Oben rechts KachelX + 1 77770 KachelY 83574 0.58646003 -0.77352850 33.601685 -44.319918
    Unten links KachelX 77769 KachelY + 1 83575 0.58641209 -0.77356279 33.598938 -44.321883
    Unten rechts KachelX + 1 77770 KachelY + 1 83575 0.58646003 -0.77356279 33.601685 -44.321883
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77352850--0.77356279) × R
    3.42899999999924e-05 × 6371000     		dl = 218.461589999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77352850--0.77356279) × R
    3.42899999999924e-05 × 6371000     		dr = 218.461589999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58641209-0.58646003) × cos(-0.77352850) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.715449892417056 × 6371000     		do = 218.516812824256m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58641209-0.58646003) × cos(-0.77356279) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.715425934806253 × 6371000     		du = 218.509495553248m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77352850)-sin(-0.77356279))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.715449892417056-0.715425934806253)×R²
    abs(0.58646003-0.58641209)×2.39576108026496e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39576108026496e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39576108026496e-05×40589641000000     		ar = 47736.731104669m²