Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77769 / 83570
↖ ↑ ↗
← S 44.312057°
E 33.598938°		 ← 218.55 m → S 44.312057°
E 33.601685°		 →
↑
218.53 m
↓
↑
218.53 m
↓
S 44.314023°
E 33.598938°		 ← 218.54 m →
47 757 m²		 S 44.314023°
E 33.601685°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77769 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83570 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593334197998047 y=0.637592315673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593334197998047 × 217)
    floor (0.593334197998047 × 131072)
    floor (77769.5)     		tx = 77769
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637592315673828 × 217)
    floor (0.637592315673828 × 131072)
    floor (83570.5)     		ty = 83570
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77769 / 83570 ti = "17/77769/83570"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77769/83570.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77769 ÷ 217
    77769 ÷ 131072     		x = 0.593330383300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83570 ÷ 217
    83570 ÷ 131072     		y = 0.637588500976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593330383300781 × 2 - 1) × π
    0.186660766601562 × 3.1415926535     		Λ = 0.58641209
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637588500976562 × 2 - 1) × π
    -0.275177001953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.864494047748093
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58641209} λ = 0.58641209}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.864494047748093))-π/2
    2×atan(0.421264638509637)-π/2
    2×0.398702513192223-π/2
    0.797405026384446-1.57079632675     		φ = -0.77339130
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58641209} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.598938°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77339130 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.312057°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77769 KachelY 83570 0.58641209 -0.77339130 33.598938 -44.312057
    Oben rechts KachelX + 1 77770 KachelY 83570 0.58646003 -0.77339130 33.601685 -44.312057
    Unten links KachelX 77769 KachelY + 1 83571 0.58641209 -0.77342560 33.598938 -44.314023
    Unten rechts KachelX + 1 77770 KachelY + 1 83571 0.58646003 -0.77342560 33.601685 -44.314023
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77339130--0.77342560) × R
    3.43000000000426e-05 × 6371000     		dl = 218.525300000272m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77339130--0.77342560) × R
    3.43000000000426e-05 × 6371000     		dr = 218.525300000272m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58641209-0.58646003) × cos(-0.77339130) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.715545742390332 × 6371000     		do = 218.546087873273m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58641209-0.58646003) × cos(-0.77342560) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.715521781159691 × 6371000     		du = 218.538769496673m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77339130)-sin(-0.77342560))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.715545742390332-0.715521781159691)×R²
    abs(0.58646003-0.58641209)×2.39612306408565e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39612306408565e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39612306408565e-05×40589641000000     		ar = 47757.049795864m²