Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77765 / 57157
↖ ↑ ↗
← N 22.418646°
E 33.587952°		 ← 282.28 m → N 22.418646°
E 33.590698°		 →
↑
282.30 m
↓
↑
282.30 m
↓
N 22.416107°
E 33.587952°		 ← 282.29 m →
79 689 m²		 N 22.416107°
E 33.590698°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77765 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57157 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593303680419922 y=0.436077117919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593303680419922 × 217)
    floor (0.593303680419922 × 131072)
    floor (77765.5)     		tx = 77765
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436077117919922 × 217)
    floor (0.436077117919922 × 131072)
    floor (57157.5)     		ty = 57157
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77765 / 57157 ti = "17/77765/57157"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77765/57157.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77765 ÷ 217
    77765 ÷ 131072     		x = 0.593299865722656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57157 ÷ 217
    57157 ÷ 131072     		y = 0.436073303222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593299865722656 × 2 - 1) × π
    0.186599731445312 × 3.1415926535     		Λ = 0.58622035
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.436073303222656 × 2 - 1) × π
    0.127853393554688 × 3.1415926535     		Φ = 0.401663281916451
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58622035} λ = 0.58622035}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.401663281916451))-π/2
    2×atan(1.49430808739948)-π/2
    2×0.981037754329566-π/2
    1.96207550865913-1.57079632675     		φ = 0.39127918
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58622035} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.587952°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39127918 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.418646°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77765 KachelY 57157 0.58622035 0.39127918 33.587952 22.418646
    Oben rechts KachelX + 1 77766 KachelY 57157 0.58626828 0.39127918 33.590698 22.418646
    Unten links KachelX 77765 KachelY + 1 57158 0.58622035 0.39123487 33.587952 22.416107
    Unten rechts KachelX + 1 77766 KachelY + 1 57158 0.58626828 0.39123487 33.590698 22.416107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39127918-0.39123487) × R
    4.43099999999919e-05 × 6371000     		dl = 282.299009999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39127918-0.39123487) × R
    4.43099999999919e-05 × 6371000     		dr = 282.299009999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58622035-0.58626828) × cos(0.39127918) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.924421973858161 × 6371000     		do = 282.283370514108m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58622035-0.58626828) × cos(0.39123487) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.924438871509815 × 6371000     		du = 282.288530415319m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39127918)-sin(0.39123487))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.924421973858161-0.924438871509815)×R²
    abs(0.58626828-0.58622035)×1.68976516539132e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.68976516539132e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.68976516539132e-05×40589641000000     		ar = 79689.0443660956m²