Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77764 / 57156
↖ ↑ ↗
← N 22.421185°
E 33.585205°		 ← 282.34 m → N 22.421185°
E 33.587952°		 →
↑
282.36 m
↓
↑
282.36 m
↓
N 22.418646°
E 33.585205°		 ← 282.34 m →
79 722 m²		 N 22.418646°
E 33.587952°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77764 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57156 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593296051025391 y=0.436069488525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593296051025391 × 217)
    floor (0.593296051025391 × 131072)
    floor (77764.5)     		tx = 77764
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436069488525391 × 217)
    floor (0.436069488525391 × 131072)
    floor (57156.5)     		ty = 57156
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77764 / 57156 ti = "17/77764/57156"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77764/57156.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77764 ÷ 217
    77764 ÷ 131072     		x = 0.593292236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57156 ÷ 217
    57156 ÷ 131072     		y = 0.436065673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593292236328125 × 2 - 1) × π
    0.18658447265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.58617241
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.436065673828125 × 2 - 1) × π
    0.12786865234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.401711218816071
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58617241} λ = 0.58617241}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.401711218816071))-π/2
    2×atan(1.49437972161322)-π/2
    2×0.981059911088692-π/2
    1.96211982217738-1.57079632675     		φ = 0.39132350
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58617241} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.585205°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39132350 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.421185°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77764 KachelY 57156 0.58617241 0.39132350 33.585205 22.421185
    Oben rechts KachelX + 1 77765 KachelY 57156 0.58622035 0.39132350 33.587952 22.421185
    Unten links KachelX 77764 KachelY + 1 57157 0.58617241 0.39127918 33.585205 22.418646
    Unten rechts KachelX + 1 77765 KachelY + 1 57157 0.58622035 0.39127918 33.587952 22.418646
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39132350-0.39127918) × R
    4.43199999999866e-05 × 6371000     		dl = 282.362719999915m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39132350-0.39127918) × R
    4.43199999999866e-05 × 6371000     		dr = 282.362719999915m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58617241-0.58622035) × cos(0.39132350) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.924405070577397 × 6371000     		do = 282.337102740669m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58617241-0.58622035) × cos(0.39127918) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.924421973858161 × 6371000     		du = 282.342265437704m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39132350)-sin(0.39127918))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.924405070577397-0.924421973858161)×R²
    abs(0.58622035-0.58617241)×1.69032807638692e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.69032807638692e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.69032807638692e-05×40589641000000     		ar = 79722.2011764217m²