Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77761 / 57153
↖ ↑ ↗
← N 22.428801°
E 33.576965°		 ← 282.26 m → N 22.428801°
E 33.579712°		 →
↑
282.30 m
↓
↑
282.30 m
↓
N 22.426263°
E 33.576965°		 ← 282.27 m →
79 683 m²		 N 22.426263°
E 33.579712°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77761 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57153 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593273162841797 y=0.436046600341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593273162841797 × 217)
    floor (0.593273162841797 × 131072)
    floor (77761.5)     		tx = 77761
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436046600341797 × 217)
    floor (0.436046600341797 × 131072)
    floor (57153.5)     		ty = 57153
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77761 / 57153 ti = "17/77761/57153"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77761/57153.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77761 ÷ 217
    77761 ÷ 131072     		x = 0.593269348144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57153 ÷ 217
    57153 ÷ 131072     		y = 0.436042785644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593269348144531 × 2 - 1) × π
    0.186538696289062 × 3.1415926535     		Λ = 0.58602860
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.436042785644531 × 2 - 1) × π
    0.127914428710938 × 3.1415926535     		Φ = 0.401855029514931
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58602860} λ = 0.58602860}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.401855029514931))-π/2
    2×atan(1.49459464485911)-π/2
    2×0.981126378935302-π/2
    1.9622527578706-1.57079632675     		φ = 0.39145643
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58602860} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.576965°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39145643 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.428801°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77761 KachelY 57153 0.58602860 0.39145643 33.576965 22.428801
    Oben rechts KachelX + 1 77762 KachelY 57153 0.58607653 0.39145643 33.579712 22.428801
    Unten links KachelX 77761 KachelY + 1 57154 0.58602860 0.39141212 33.576965 22.426263
    Unten rechts KachelX + 1 77762 KachelY + 1 57154 0.58607653 0.39141212 33.579712 22.426263
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39145643-0.39141212) × R
    4.43100000000474e-05 × 6371000     		dl = 282.299010000302m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39145643-0.39141212) × R
    4.43100000000474e-05 × 6371000     		dr = 282.299010000302m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58602860-0.58607653) × cos(0.39145643) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.924354361286646 × 6371000     		do = 282.262724202016m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58602860-0.58607653) × cos(0.39141212) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.924371266198463 × 6371000     		du = 282.267886320206m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39145643)-sin(0.39141212))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.924354361286646-0.924371266198463)×R²
    abs(0.58607653-0.58602860)×1.69049118164954e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.69049118164954e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.69049118164954e-05×40589641000000     		ar = 79683.2162457599m²