Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77760 / 57152
↖ ↑ ↗
← N 22.431340°
E 33.574219°		 ← 282.32 m → N 22.431340°
E 33.576965°		 →
↑
282.30 m
↓
↑
282.30 m
↓
N 22.428801°
E 33.574219°		 ← 282.32 m →
79 698 m²		 N 22.428801°
E 33.576965°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77760 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57152 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593265533447266 y=0.436038970947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593265533447266 × 217)
    floor (0.593265533447266 × 131072)
    floor (77760.5)     		tx = 77760
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436038970947266 × 217)
    floor (0.436038970947266 × 131072)
    floor (57152.5)     		ty = 57152
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77760 / 57152 ti = "17/77760/57152"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77760/57152.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77760 ÷ 217
    77760 ÷ 131072     		x = 0.59326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57152 ÷ 217
    57152 ÷ 131072     		y = 0.43603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59326171875 × 2 - 1) × π
    0.1865234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.58598066
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43603515625 × 2 - 1) × π
    0.1279296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.401902966414551
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58598066} λ = 0.58598066}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.401902966414551))-π/2
    2×atan(1.49466629280985)-π/2
    2×0.981148534073795-π/2
    1.96229706814759-1.57079632675     		φ = 0.39150074
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58598066} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.574219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39150074 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.431340°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77760 KachelY 57152 0.58598066 0.39150074 33.574219 22.431340
    Oben rechts KachelX + 1 77761 KachelY 57152 0.58602860 0.39150074 33.576965 22.431340
    Unten links KachelX 77760 KachelY + 1 57153 0.58598066 0.39145643 33.574219 22.428801
    Unten rechts KachelX + 1 77761 KachelY + 1 57153 0.58602860 0.39145643 33.576965 22.428801
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39150074-0.39145643) × R
    4.43099999999919e-05 × 6371000     		dl = 282.299009999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39150074-0.39145643) × R
    4.43099999999919e-05 × 6371000     		dr = 282.299009999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58598066-0.58602860) × cos(0.39150074) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.924337454559975 × 6371000     		do = 282.316451068512m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58598066-0.58602860) × cos(0.39145643) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.924354361286646 × 6371000     		du = 282.321614818016m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39150074)-sin(0.39145643))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.924337454559975-0.924354361286646)×R²
    abs(0.58602860-0.58598066)×1.69067266716505e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.69067266716505e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.69067266716505e-05×40589641000000     		ar = 79698.3835170485m²