Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7776 / 1700
↖ ↑ ↗
← N 71.910888°
E161.718750°		 ← 1 517.24 m → N 71.910888°
E161.762695°		 →
↑
1 517.76 m
↓
↑
1 517.76 m
↓
N 71.897238°
E161.718750°		 ← 1 518.34 m →
2 303 644 m²		 N 71.897238°
E161.762695°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7776 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1700 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.94927978515625 y=0.20758056640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.94927978515625 × 213)
    floor (0.94927978515625 × 8192)
    floor (7776.5)     		tx = 7776
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.20758056640625 × 213)
    floor (0.20758056640625 × 8192)
    floor (1700.5)     		ty = 1700
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7776 / 1700 ti = "13/7776/1700"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7776/1700.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7776 ÷ 213
    7776 ÷ 8192     		x = 0.94921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1700 ÷ 213
    1700 ÷ 8192     		y = 0.20751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94921875 × 2 - 1) × π
    0.8984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.82252465
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20751953125 × 2 - 1) × π
    0.5849609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.83770898383447
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82252465} λ = 2.82252465}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83770898383447))-π/2
    2×atan(6.28212930196528)-π/2
    2×1.41293904412464-π/2
    2.82587808824927-1.57079632675     		φ = 1.25508176
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82252465} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.718750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25508176 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.910888°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7776 KachelY 1700 2.82252465 1.25508176 161.718750 71.910888
    Oben rechts KachelX + 1 7777 KachelY 1700 2.82329164 1.25508176 161.762695 71.910888
    Unten links KachelX 7776 KachelY + 1 1701 2.82252465 1.25484353 161.718750 71.897238
    Unten rechts KachelX + 1 7777 KachelY + 1 1701 2.82329164 1.25484353 161.762695 71.897238
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25508176-1.25484353) × R
    0.000238229999999895 × 6371000     		dl = 1517.76332999933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25508176-1.25484353) × R
    0.000238229999999895 × 6371000     		dr = 1517.76332999933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82252465-2.82329164) × cos(1.25508176) × R
    0.000766989999999801 × 0.310495799593839 × 6371000     		do = 1517.23564128809m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82252465-2.82329164) × cos(1.25484353) × R
    0.000766989999999801 × 0.310722246203911 × 6371000     		du = 1518.34217112874m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25508176)-sin(1.25484353))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.310495799593839-0.310722246203911)×R²
    abs(2.82329164-2.82252465)×0.000226446610071707×R²
    0.000766989999999801×0.000226446610071707×6371000²
    0.000766989999999801×0.000226446610071707×40589641000000     		ar = 2303644.35541657m²