Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77759 / 57774
↖ ↑ ↗
← N 20.843412°
E 33.571472°		 ← 285.44 m → N 20.843412°
E 33.574219°		 →
↑
285.42 m
↓
↑
285.42 m
↓
N 20.840845°
E 33.571472°		 ← 285.44 m →
81 471 m²		 N 20.840845°
E 33.574219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77759 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57774 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593257904052734 y=0.440784454345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593257904052734 × 217)
    floor (0.593257904052734 × 131072)
    floor (77759.5)     		tx = 77759
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440784454345703 × 217)
    floor (0.440784454345703 × 131072)
    floor (57774.5)     		ty = 57774
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77759 / 57774 ti = "17/77759/57774"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77759/57774.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77759 ÷ 217
    77759 ÷ 131072     		x = 0.593254089355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57774 ÷ 217
    57774 ÷ 131072     		y = 0.440780639648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593254089355469 × 2 - 1) × π
    0.186508178710938 × 3.1415926535     		Λ = 0.58593272
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.440780639648438 × 2 - 1) × π
    0.118438720703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.372086214850876
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58593272} λ = 0.58593272}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.372086214850876))-π/2
    2×atan(1.45075805279075)-π/2
    2×0.967291242971118-π/2
    1.93458248594224-1.57079632675     		φ = 0.36378616
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58593272} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.571472°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36378616 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.843412°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77759 KachelY 57774 0.58593272 0.36378616 33.571472 20.843412
    Oben rechts KachelX + 1 77760 KachelY 57774 0.58598066 0.36378616 33.574219 20.843412
    Unten links KachelX 77759 KachelY + 1 57775 0.58593272 0.36374136 33.571472 20.840845
    Unten rechts KachelX + 1 77760 KachelY + 1 57775 0.58598066 0.36374136 33.574219 20.840845
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36378616-0.36374136) × R
    4.48000000000115e-05 × 6371000     		dl = 285.420800000073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36378616-0.36374136) × R
    4.48000000000115e-05 × 6371000     		dr = 285.420800000073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58593272-0.58598066) × cos(0.36378616) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.934556352217467 × 6371000     		do = 285.437565448194m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58593272-0.58598066) × cos(0.36374136) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.93457229179856 × 6371000     		du = 285.442433806545m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36378616)-sin(0.36374136))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934556352217467-0.93457229179856)×R²
    abs(0.58598066-0.58593272)×1.59395810928054e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.59395810928054e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.59395810928054e-05×40589641000000     		ar = 81470.5130593672m²