Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77758 / 57070
↖ ↑ ↗
← N 22.639363°
E 33.568726°		 ← 281.83 m → N 22.639363°
E 33.571472°		 →
↑
281.85 m
↓
↑
281.85 m
↓
N 22.636828°
E 33.568726°		 ← 281.84 m →
79 436 m²		 N 22.636828°
E 33.571472°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77758 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57070 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593250274658203 y=0.435413360595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593250274658203 × 217)
    floor (0.593250274658203 × 131072)
    floor (77758.5)     		tx = 77758
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435413360595703 × 217)
    floor (0.435413360595703 × 131072)
    floor (57070.5)     		ty = 57070
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77758 / 57070 ti = "17/77758/57070"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77758/57070.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77758 ÷ 217
    77758 ÷ 131072     		x = 0.593246459960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57070 ÷ 217
    57070 ÷ 131072     		y = 0.435409545898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593246459960938 × 2 - 1) × π
    0.186492919921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58588479
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.435409545898438 × 2 - 1) × π
    0.129180908203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.405833792183395
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58588479} λ = 0.58588479}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.405833792183395))-π/2
    2×atan(1.50055312807134)-π/2
    2×0.98296387306088-π/2
    1.96592774612176-1.57079632675     		φ = 0.39513142
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58588479} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.568726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39513142 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.639363°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77758 KachelY 57070 0.58588479 0.39513142 33.568726 22.639363
    Oben rechts KachelX + 1 77759 KachelY 57070 0.58593272 0.39513142 33.571472 22.639363
    Unten links KachelX 77758 KachelY + 1 57071 0.58588479 0.39508718 33.568726 22.636828
    Unten rechts KachelX + 1 77759 KachelY + 1 57071 0.58593272 0.39508718 33.571472 22.636828
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39513142-0.39508718) × R
    4.42400000000287e-05 × 6371000     		dl = 281.853040000183m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39513142-0.39508718) × R
    4.42400000000287e-05 × 6371000     		dr = 281.853040000183m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58588479-0.58593272) × cos(0.39513142) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.922945984900453 × 6371000     		do = 281.832659529071m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58588479-0.58593272) × cos(0.39508718) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.92296301327771 × 6371000     		du = 281.837859348918m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39513142)-sin(0.39508718))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.922945984900453-0.92296301327771)×R²
    abs(0.58593272-0.58588479)×1.70283772569224e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.70283772569224e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.70283772569224e-05×40589641000000     		ar = 79436.1246651484m²