Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77757 / 57341
↖ ↑ ↗
← N 21.950688°
E 33.565979°		 ← 283.28 m → N 21.950688°
E 33.568726°		 →
↑
283.25 m
↓
↑
283.25 m
↓
N 21.948141°
E 33.565979°		 ← 283.29 m →
80 242 m²		 N 21.948141°
E 33.568726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77757 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57341 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593242645263672 y=0.437480926513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593242645263672 × 217)
    floor (0.593242645263672 × 131072)
    floor (77757.5)     		tx = 77757
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437480926513672 × 217)
    floor (0.437480926513672 × 131072)
    floor (57341.5)     		ty = 57341
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77757 / 57341 ti = "17/77757/57341"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77757/57341.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77757 ÷ 217
    77757 ÷ 131072     		x = 0.593238830566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57341 ÷ 217
    57341 ÷ 131072     		y = 0.437477111816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593238830566406 × 2 - 1) × π
    0.186477661132812 × 3.1415926535     		Λ = 0.58583685
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437477111816406 × 2 - 1) × π
    0.125045776367188 × 3.1415926535     		Φ = 0.39284289238636
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58583685} λ = 0.58583685}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.39284289238636))-π/2
    2×atan(1.48118566550314)-π/2
    2×0.976954054058584-π/2
    1.95390810811717-1.57079632675     		φ = 0.38311178
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58583685} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.565979°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38311178 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.950688°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77757 KachelY 57341 0.58583685 0.38311178 33.565979 21.950688
    Oben rechts KachelX + 1 77758 KachelY 57341 0.58588479 0.38311178 33.568726 21.950688
    Unten links KachelX 77757 KachelY + 1 57342 0.58583685 0.38306732 33.565979 21.948141
    Unten rechts KachelX + 1 77758 KachelY + 1 57342 0.58588479 0.38306732 33.568726 21.948141
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38311178-0.38306732) × R
    4.44600000000239e-05 × 6371000     		dl = 283.254660000152m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38311178-0.38306732) × R
    4.44600000000239e-05 × 6371000     		dr = 283.254660000152m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58583685-0.58588479) × cos(0.38311178) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.927505918333601 × 6371000     		do = 283.28418146189m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58583685-0.58588479) × cos(0.38306732) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.927522536941428 × 6371000     		du = 283.289257212483m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38311178)-sin(0.38306732))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927505918333601-0.927522536941428)×R²
    abs(0.58588479-0.58583685)×1.66186078273123e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.66186078273123e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.66186078273123e-05×40589641000000     		ar = 80242.2833815794m²