Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77757 / 57275
↖ ↑ ↗
← N 22.118722°
E 33.565979°		 ← 282.95 m → N 22.118722°
E 33.568726°		 →
↑
282.94 m
↓
↑
282.94 m
↓
N 22.116177°
E 33.565979°		 ← 282.95 m →
80 057 m²		 N 22.116177°
E 33.568726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77757 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57275 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593242645263672 y=0.436977386474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593242645263672 × 217)
    floor (0.593242645263672 × 131072)
    floor (77757.5)     		tx = 77757
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436977386474609 × 217)
    floor (0.436977386474609 × 131072)
    floor (57275.5)     		ty = 57275
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77757 / 57275 ti = "17/77757/57275"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77757/57275.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77757 ÷ 217
    77757 ÷ 131072     		x = 0.593238830566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57275 ÷ 217
    57275 ÷ 131072     		y = 0.436973571777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593238830566406 × 2 - 1) × π
    0.186477661132812 × 3.1415926535     		Λ = 0.58583685
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.436973571777344 × 2 - 1) × π
    0.126052856445312 × 3.1415926535     		Φ = 0.396006727761284
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58583685} λ = 0.58583685}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.396006727761284))-π/2
    2×atan(1.48587931415908)-π/2
    2×0.97842042268646-π/2
    1.95684084537292-1.57079632675     		φ = 0.38604452
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58583685} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.565979°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38604452 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.118722°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77757 KachelY 57275 0.58583685 0.38604452 33.565979 22.118722
    Oben rechts KachelX + 1 77758 KachelY 57275 0.58588479 0.38604452 33.568726 22.118722
    Unten links KachelX 77757 KachelY + 1 57276 0.58583685 0.38600011 33.565979 22.116177
    Unten rechts KachelX + 1 77758 KachelY + 1 57276 0.58588479 0.38600011 33.568726 22.116177
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38604452-0.38600011) × R
    4.44099999999947e-05 × 6371000     		dl = 282.936109999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38604452-0.38600011) × R
    4.44099999999947e-05 × 6371000     		dr = 282.936109999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58583685-0.58588479) × cos(0.38604452) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.926405648136292 × 6371000     		do = 282.948130622676m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58583685-0.58588479) × cos(0.38600011) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.926422368786415 × 6371000     		du = 282.953237539613m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38604452)-sin(0.38600011))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.926405648136292-0.926422368786415)×R²
    abs(0.58588479-0.58583685)×1.67206501227035e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.67206501227035e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.67206501227035e-05×40589641000000     		ar = 80056.9658889423m²