Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77756 / 57243
↖ ↑ ↗
← N 22.200121°
E 33.563232°		 ← 282.78 m → N 22.200121°
E 33.565979°		 →
↑
282.81 m
↓
↑
282.81 m
↓
N 22.197577°
E 33.563232°		 ← 282.79 m →
79 975 m²		 N 22.197577°
E 33.565979°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77756 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57243 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593235015869141 y=0.436733245849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593235015869141 × 217)
    floor (0.593235015869141 × 131072)
    floor (77756.5)     		tx = 77756
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436733245849609 × 217)
    floor (0.436733245849609 × 131072)
    floor (57243.5)     		ty = 57243
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77756 / 57243 ti = "17/77756/57243"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77756/57243.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77756 ÷ 217
    77756 ÷ 131072     		x = 0.593231201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57243 ÷ 217
    57243 ÷ 131072     		y = 0.436729431152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593231201171875 × 2 - 1) × π
    0.18646240234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.58578891
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.436729431152344 × 2 - 1) × π
    0.126541137695312 × 3.1415926535     		Φ = 0.397540708549126
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58578891} λ = 0.58578891}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.397540708549126))-π/2
    2×atan(1.48816037358343)-π/2
    2×0.979130761520478-π/2
    1.95826152304096-1.57079632675     		φ = 0.38746520
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58578891} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.563232°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38746520 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.200121°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77756 KachelY 57243 0.58578891 0.38746520 33.563232 22.200121
    Oben rechts KachelX + 1 77757 KachelY 57243 0.58583685 0.38746520 33.565979 22.200121
    Unten links KachelX 77756 KachelY + 1 57244 0.58578891 0.38742081 33.563232 22.197577
    Unten rechts KachelX + 1 77757 KachelY + 1 57244 0.58583685 0.38742081 33.565979 22.197577
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38746520-0.38742081) × R
    4.43900000000053e-05 × 6371000     		dl = 282.808690000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38746520-0.38742081) × R
    4.43900000000053e-05 × 6371000     		dr = 282.808690000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58578891-0.58583685) × cos(0.38746520) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.92586978905361 × 6371000     		do = 282.784465465157m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58578891-0.58583685) × cos(0.38742081) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.925886560580488 × 6371000     		du = 282.789587921165m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38746520)-sin(0.38742081))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.92586978905361-0.925886560580488)×R²
    abs(0.58583685-0.58578891)×1.67715268787338e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.67715268787338e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.67715268787338e-05×40589641000000     		ar = 79974.6285812854m²