Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77753 / 57367
↖ ↑ ↗
← N 21.884439°
E 33.554993°		 ← 283.42 m → N 21.884439°
E 33.557739°		 →
↑
283.45 m
↓
↑
283.45 m
↓
N 21.881890°
E 33.554993°		 ← 283.42 m →
80 334 m²		 N 21.881890°
E 33.557739°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77753 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57367 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593212127685547 y=0.437679290771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593212127685547 × 217)
    floor (0.593212127685547 × 131072)
    floor (77753.5)     		tx = 77753
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437679290771484 × 217)
    floor (0.437679290771484 × 131072)
    floor (57367.5)     		ty = 57367
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77753 / 57367 ti = "17/77753/57367"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77753/57367.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77753 ÷ 217
    77753 ÷ 131072     		x = 0.593208312988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57367 ÷ 217
    57367 ÷ 131072     		y = 0.437675476074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593208312988281 × 2 - 1) × π
    0.186416625976562 × 3.1415926535     		Λ = 0.58564510
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437675476074219 × 2 - 1) × π
    0.124649047851562 × 3.1415926535     		Φ = 0.391596532996239
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58564510} λ = 0.58564510}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.391596532996239))-π/2
    2×atan(1.47934072580821)-π/2
    2×0.976375916665758-π/2
    1.95275183333152-1.57079632675     		φ = 0.38195551
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58564510} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.554993°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38195551 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.884439°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77753 KachelY 57367 0.58564510 0.38195551 33.554993 21.884439
    Oben rechts KachelX + 1 77754 KachelY 57367 0.58569304 0.38195551 33.557739 21.884439
    Unten links KachelX 77753 KachelY + 1 57368 0.58564510 0.38191102 33.554993 21.881890
    Unten rechts KachelX + 1 77754 KachelY + 1 57368 0.58569304 0.38191102 33.557739 21.881890
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38195551-0.38191102) × R
    4.44900000000081e-05 × 6371000     		dl = 283.445790000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38195551-0.38191102) × R
    4.44900000000081e-05 × 6371000     		dr = 283.445790000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58564510-0.58569304) × cos(0.38195551) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.927937521736446 × 6371000     		do = 283.416004249934m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58564510-0.58569304) × cos(0.38191102) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.927954103832577 × 6371000     		du = 283.421068848916m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38195551)-sin(0.38191102))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927937521736446-0.927954103832577)×R²
    abs(0.58569304-0.58564510)×1.65820961310903e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.65820961310903e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.65820961310903e-05×40589641000000     		ar = 80333.7910062119m²