Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77753 / 57290
↖ ↑ ↗
← N 22.080550°
E 33.554993°		 ← 283.02 m → N 22.080550°
E 33.557739°		 →
↑
283 m
↓
↑
283 m
↓
N 22.078004°
E 33.554993°		 ← 283.03 m →
80 097 m²		 N 22.078004°
E 33.557739°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77753 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57290 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593212127685547 y=0.437091827392578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593212127685547 × 217)
    floor (0.593212127685547 × 131072)
    floor (77753.5)     		tx = 77753
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437091827392578 × 217)
    floor (0.437091827392578 × 131072)
    floor (57290.5)     		ty = 57290
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77753 / 57290 ti = "17/77753/57290"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77753/57290.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77753 ÷ 217
    77753 ÷ 131072     		x = 0.593208312988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57290 ÷ 217
    57290 ÷ 131072     		y = 0.437088012695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593208312988281 × 2 - 1) × π
    0.186416625976562 × 3.1415926535     		Λ = 0.58564510
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437088012695312 × 2 - 1) × π
    0.125823974609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.395287674266983
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58564510} λ = 0.58564510}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.395287674266983))-π/2
    2×atan(1.48481127148206)-π/2
    2×0.978087310009753-π/2
    1.95617462001951-1.57079632675     		φ = 0.38537829
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58564510} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.554993°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38537829 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.080550°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77753 KachelY 57290 0.58564510 0.38537829 33.554993 22.080550
    Oben rechts KachelX + 1 77754 KachelY 57290 0.58569304 0.38537829 33.557739 22.080550
    Unten links KachelX 77753 KachelY + 1 57291 0.58564510 0.38533387 33.554993 22.078004
    Unten rechts KachelX + 1 77754 KachelY + 1 57291 0.58569304 0.38533387 33.557739 22.078004
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38537829-0.38533387) × R
    4.44199999999895e-05 × 6371000     		dl = 282.999819999933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38537829-0.38533387) × R
    4.44199999999895e-05 × 6371000     		dr = 282.999819999933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58564510-0.58569304) × cos(0.38537829) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.926656296096765 × 6371000     		do = 283.024684960828m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58564510-0.58569304) × cos(0.38533387) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.9266729930918 × 6371000     		du = 283.029784652892m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38537829)-sin(0.38533387))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.926656296096765-0.9266729930918)×R²
    abs(0.58569304-0.58564510)×1.66969950340379e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.66969950340379e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.66969950340379e-05×40589641000000     		ar = 80096.6565186144m²