Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77752 / 57272
↖ ↑ ↗
← N 22.126355°
E 33.552246°		 ← 282.87 m → N 22.126355°
E 33.554993°		 →
↑
282.87 m
↓
↑
282.87 m
↓
N 22.123811°
E 33.552246°		 ← 282.88 m →
80 018 m²		 N 22.123811°
E 33.554993°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77752 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57272 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593204498291016 y=0.436954498291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593204498291016 × 217)
    floor (0.593204498291016 × 131072)
    floor (77752.5)     		tx = 77752
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436954498291016 × 217)
    floor (0.436954498291016 × 131072)
    floor (57272.5)     		ty = 57272
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77752 / 57272 ti = "17/77752/57272"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77752/57272.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77752 ÷ 217
    77752 ÷ 131072     		x = 0.59320068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57272 ÷ 217
    57272 ÷ 131072     		y = 0.43695068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59320068359375 × 2 - 1) × π
    0.1864013671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58559717
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43695068359375 × 2 - 1) × π
    0.1260986328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.396150538460144
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58559717} λ = 0.58559717}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.396150538460144))-π/2
    2×atan(1.48609301486753)-π/2
    2×0.978487034404663-π/2
    1.95697406880933-1.57079632675     		φ = 0.38617774
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58559717} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.552246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38617774 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.126355°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77752 KachelY 57272 0.58559717 0.38617774 33.552246 22.126355
    Oben rechts KachelX + 1 77753 KachelY 57272 0.58564510 0.38617774 33.554993 22.126355
    Unten links KachelX 77752 KachelY + 1 57273 0.58559717 0.38613334 33.552246 22.123811
    Unten rechts KachelX + 1 77753 KachelY + 1 57273 0.58564510 0.38613334 33.554993 22.123811
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38617774-0.38613334) × R
    4.44e-05 × 6371000     		dl = 282.8724m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38617774-0.38613334) × R
    4.44e-05 × 6371000     		dr = 282.8724m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58559717-0.58564510) × cos(0.38617774) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.926355478989949 × 6371000     		do = 282.873789566166m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58559717-0.58564510) × cos(0.38613334) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.926372201354774 × 6371000     		du = 282.878895941436m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38617774)-sin(0.38613334))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.926355478989949-0.926372201354774)×R²
    abs(0.58564510-0.58559717)×1.67223648250836e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.67223648250836e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.67223648250836e-05×40589641000000     		ar = 80017.9099911903m²