Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77751 / 59031
↖ ↑ ↗
← N 17.583812°
E 33.549500°		 ← 291.16 m → N 17.583812°
E 33.552246°		 →
↑
291.15 m
↓
↑
291.15 m
↓
N 17.581194°
E 33.549500°		 ← 291.16 m →
84 772 m²		 N 17.581194°
E 33.552246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77751 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59031 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593196868896484 y=0.450374603271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593196868896484 × 217)
    floor (0.593196868896484 × 131072)
    floor (77751.5)     		tx = 77751
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.450374603271484 × 217)
    floor (0.450374603271484 × 131072)
    floor (59031.5)     		ty = 59031
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77751 / 59031 ti = "17/77751/59031"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77751/59031.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77751 ÷ 217
    77751 ÷ 131072     		x = 0.593193054199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59031 ÷ 217
    59031 ÷ 131072     		y = 0.450370788574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593193054199219 × 2 - 1) × π
    0.186386108398438 × 3.1415926535     		Λ = 0.58554923
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.450370788574219 × 2 - 1) × π
    0.0992584228515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.311829532028465
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58554923} λ = 0.58554923}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.311829532028465))-π/2
    2×atan(1.3659218272588)-π/2
    2×0.938845873205231-π/2
    1.87769174641046-1.57079632675     		φ = 0.30689542
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58554923} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.549500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30689542 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.583812°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77751 KachelY 59031 0.58554923 0.30689542 33.549500 17.583812
    Oben rechts KachelX + 1 77752 KachelY 59031 0.58559717 0.30689542 33.552246 17.583812
    Unten links KachelX 77751 KachelY + 1 59032 0.58554923 0.30684972 33.549500 17.581194
    Unten rechts KachelX + 1 77752 KachelY + 1 59032 0.58559717 0.30684972 33.552246 17.581194
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30689542-0.30684972) × R
    4.56999999999819e-05 × 6371000     		dl = 291.154699999884m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30689542-0.30684972) × R
    4.56999999999819e-05 × 6371000     		dr = 291.154699999884m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58554923-0.58559717) × cos(0.30689542) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.953276057815516 × 6371000     		do = 291.155045382396m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58554923-0.58559717) × cos(0.30684972) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.953289862816349 × 6371000     		du = 291.159261784991m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30689542)-sin(0.30684972))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.953276057815516-0.953289862816349)×R²
    abs(0.58559717-0.58554923)×1.38050008325896e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.38050008325896e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.38050008325896e-05×40589641000000     		ar = 84771.7737192103m²