Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77751 / 57338
↖ ↑ ↗
← N 21.958330°
E 33.549500°		 ← 283.27 m → N 21.958330°
E 33.552246°		 →
↑
283.25 m
↓
↑
283.25 m
↓
N 21.955783°
E 33.549500°		 ← 283.27 m →
80 238 m²		 N 21.955783°
E 33.552246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77751 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57338 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593196868896484 y=0.437458038330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593196868896484 × 217)
    floor (0.593196868896484 × 131072)
    floor (77751.5)     		tx = 77751
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437458038330078 × 217)
    floor (0.437458038330078 × 131072)
    floor (57338.5)     		ty = 57338
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77751 / 57338 ti = "17/77751/57338"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77751/57338.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77751 ÷ 217
    77751 ÷ 131072     		x = 0.593193054199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57338 ÷ 217
    57338 ÷ 131072     		y = 0.437454223632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593193054199219 × 2 - 1) × π
    0.186386108398438 × 3.1415926535     		Λ = 0.58554923
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437454223632812 × 2 - 1) × π
    0.125091552734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.39298670308522
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58554923} λ = 0.58554923}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.39298670308522))-π/2
    2×atan(1.48139869116615)-π/2
    2×0.977020744902919-π/2
    1.95404148980584-1.57079632675     		φ = 0.38324516
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58554923} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.549500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38324516 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.958330°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77751 KachelY 57338 0.58554923 0.38324516 33.549500 21.958330
    Oben rechts KachelX + 1 77752 KachelY 57338 0.58559717 0.38324516 33.552246 21.958330
    Unten links KachelX 77751 KachelY + 1 57339 0.58554923 0.38320070 33.549500 21.955783
    Unten rechts KachelX + 1 77752 KachelY + 1 57339 0.58559717 0.38320070 33.552246 21.955783
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38324516-0.38320070) × R
    4.44599999999684e-05 × 6371000     		dl = 283.254659999799m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38324516-0.38320070) × R
    4.44599999999684e-05 × 6371000     		dr = 283.254659999799m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58554923-0.58559717) × cos(0.38324516) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.927456051509891 × 6371000     		do = 283.268950849701m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58554923-0.58559717) × cos(0.38320070) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.9274726756178 × 6371000     		du = 283.274028280161m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38324516)-sin(0.38320070))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927456051509891-0.9274726756178)×R²
    abs(0.58559717-0.58554923)×1.66241079082585e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.66241079082585e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.66241079082585e-05×40589641000000     		ar = 80237.969477482m²