Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77751 / 57239
↖ ↑ ↗
← N 22.210292°
E 33.549500°		 ← 282.76 m → N 22.210292°
E 33.552246°		 →
↑
282.74 m
↓
↑
282.74 m
↓
N 22.207749°
E 33.549500°		 ← 282.77 m →
79 951 m²		 N 22.207749°
E 33.552246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77751 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57239 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593196868896484 y=0.436702728271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593196868896484 × 217)
    floor (0.593196868896484 × 131072)
    floor (77751.5)     		tx = 77751
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436702728271484 × 217)
    floor (0.436702728271484 × 131072)
    floor (57239.5)     		ty = 57239
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77751 / 57239 ti = "17/77751/57239"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77751/57239.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77751 ÷ 217
    77751 ÷ 131072     		x = 0.593193054199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57239 ÷ 217
    57239 ÷ 131072     		y = 0.436698913574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593193054199219 × 2 - 1) × π
    0.186386108398438 × 3.1415926535     		Λ = 0.58554923
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.436698913574219 × 2 - 1) × π
    0.126602172851562 × 3.1415926535     		Φ = 0.397732456147606
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58554923} λ = 0.58554923}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.397732456147606))-π/2
    2×atan(1.48844575212066)-π/2
    2×0.979219524958912-π/2
    1.95843904991782-1.57079632675     		φ = 0.38764272
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58554923} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.549500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38764272 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.210292°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77751 KachelY 57239 0.58554923 0.38764272 33.549500 22.210292
    Oben rechts KachelX + 1 77752 KachelY 57239 0.58559717 0.38764272 33.552246 22.210292
    Unten links KachelX 77751 KachelY + 1 57240 0.58554923 0.38759834 33.549500 22.207749
    Unten rechts KachelX + 1 77752 KachelY + 1 57240 0.58559717 0.38759834 33.552246 22.207749
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38764272-0.38759834) × R
    4.43800000000105e-05 × 6371000     		dl = 282.744980000067m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38764272-0.38759834) × R
    4.43800000000105e-05 × 6371000     		dr = 282.744980000067m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58554923-0.58559717) × cos(0.38764272) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.925802699822704 × 6371000     		do = 282.763974687162m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58554923-0.58559717) × cos(0.38759834) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.925819474865683 × 6371000     		du = 282.769098217077m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38764272)-sin(0.38759834))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.925802699822704-0.925819474865683)×R²
    abs(0.58559717-0.58554923)×1.67750429789226e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.67750429789226e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.67750429789226e-05×40589641000000     		ar = 79950.8187069378m²