Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77750 / 58230
↖ ↑ ↗
← N 19.668453°
E 33.546753°		 ← 287.61 m → N 19.668453°
E 33.549500°		 →
↑
287.59 m
↓
↑
287.59 m
↓
N 19.665866°
E 33.546753°		 ← 287.61 m →
82 712 m²		 N 19.665866°
E 33.549500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77750 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58230 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593189239501953 y=0.444263458251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593189239501953 × 217)
    floor (0.593189239501953 × 131072)
    floor (77750.5)     		tx = 77750
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444263458251953 × 217)
    floor (0.444263458251953 × 131072)
    floor (58230.5)     		ty = 58230
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77750 / 58230 ti = "17/77750/58230"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77750/58230.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77750 ÷ 217
    77750 ÷ 131072     		x = 0.593185424804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58230 ÷ 217
    58230 ÷ 131072     		y = 0.444259643554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593185424804688 × 2 - 1) × π
    0.186370849609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.58550129
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444259643554688 × 2 - 1) × π
    0.111480712890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.35022698862413
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58550129} λ = 0.58550129}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.35022698862413))-π/2
    2×atan(1.41938969734433)-π/2
    2×0.957037794980986-π/2
    1.91407558996197-1.57079632675     		φ = 0.34327926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58550129} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.546753°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34327926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.668453°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77750 KachelY 58230 0.58550129 0.34327926 33.546753 19.668453
    Oben rechts KachelX + 1 77751 KachelY 58230 0.58554923 0.34327926 33.549500 19.668453
    Unten links KachelX 77750 KachelY + 1 58231 0.58550129 0.34323412 33.546753 19.665866
    Unten rechts KachelX + 1 77751 KachelY + 1 58231 0.58554923 0.34323412 33.549500 19.665866
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34327926-0.34323412) × R
    4.51399999999991e-05 × 6371000     		dl = 287.586939999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34327926-0.34323412) × R
    4.51399999999991e-05 × 6371000     		dr = 287.586939999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58550129-0.58554923) × cos(0.34327926) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.94165600763321 × 6371000     		do = 287.605982957296m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58550129-0.58554923) × cos(0.34323412) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.941671199751996 × 6371000     		du = 287.610623021419m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34327926)-sin(0.34323412))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94165600763321-0.941671199751996)×R²
    abs(0.58554923-0.58550129)×1.51921187860893e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.51921187860893e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.51921187860893e-05×40589641000000     		ar = 82712.3917894161m²