Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7775 / 1698
↖ ↑ ↗
← N 71.938158°
E161.674805°		 ← 1 515.02 m → N 71.938158°
E161.718750°		 →
↑
1 515.60 m
↓
↑
1 515.60 m
↓
N 71.924528°
E161.674805°		 ← 1 516.13 m →
2 297 005 m²		 N 71.924528°
E161.718750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7775 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1698 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.94915771484375 y=0.20733642578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.94915771484375 × 213)
    floor (0.94915771484375 × 8192)
    floor (7775.5)     		tx = 7775
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.20733642578125 × 213)
    floor (0.20733642578125 × 8192)
    floor (1698.5)     		ty = 1698
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7775 / 1698 ti = "13/7775/1698"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7775/1698.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7775 ÷ 213
    7775 ÷ 8192     		x = 0.9490966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1698 ÷ 213
    1698 ÷ 8192     		y = 0.207275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9490966796875 × 2 - 1) × π
    0.898193359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.82175766
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.207275390625 × 2 - 1) × π
    0.58544921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.83924296462231
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82175766} λ = 2.82175766}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83924296462231))-π/2
    2×atan(6.291773362632)-π/2
    2×1.41317701786576-π/2
    2.82635403573151-1.57079632675     		φ = 1.25555771
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82175766} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.674805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25555771 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.938158°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7775 KachelY 1698 2.82175766 1.25555771 161.674805 71.938158
    Oben rechts KachelX + 1 7776 KachelY 1698 2.82252465 1.25555771 161.718750 71.938158
    Unten links KachelX 7775 KachelY + 1 1699 2.82175766 1.25531982 161.674805 71.924528
    Unten rechts KachelX + 1 7776 KachelY + 1 1699 2.82252465 1.25531982 161.718750 71.924528
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25555771-1.25531982) × R
    0.000237889999999963 × 6371000     		dl = 1515.59718999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25555771-1.25531982) × R
    0.000237889999999963 × 6371000     		dr = 1515.59718999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82175766-2.82252465) × cos(1.25555771) × R
    0.000766990000000245 × 0.310043338389825 × 6371000     		do = 1515.02469265156m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82175766-2.82252465) × cos(1.25531982) × R
    0.000766990000000245 × 0.310269496972307 × 6371000     		du = 1516.12981504734m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25555771)-sin(1.25531982))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.310043338389825-0.310269496972307)×R²
    abs(2.82252465-2.82175766)×0.000226158582482816×R²
    0.000766990000000245×0.000226158582482816×6371000²
    0.000766990000000245×0.000226158582482816×40589641000000     		ar = 2297004.63799336m²