Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77749 / 57261
↖ ↑ ↗
← N 22.154340°
E 33.544007°		 ← 282.82 m → N 22.154340°
E 33.546753°		 →
↑
282.87 m
↓
↑
282.87 m
↓
N 22.151796°
E 33.544007°		 ← 282.82 m →
80 002 m²		 N 22.151796°
E 33.546753°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77749 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57261 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593181610107422 y=0.436870574951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593181610107422 × 217)
    floor (0.593181610107422 × 131072)
    floor (77749.5)     		tx = 77749
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436870574951172 × 217)
    floor (0.436870574951172 × 131072)
    floor (57261.5)     		ty = 57261
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77749 / 57261 ti = "17/77749/57261"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77749/57261.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77749 ÷ 217
    77749 ÷ 131072     		x = 0.593177795410156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57261 ÷ 217
    57261 ÷ 131072     		y = 0.436866760253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593177795410156 × 2 - 1) × π
    0.186355590820312 × 3.1415926535     		Λ = 0.58545336
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.436866760253906 × 2 - 1) × π
    0.126266479492188 × 3.1415926535     		Φ = 0.396677844355965
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58545336} λ = 0.58545336}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.396677844355965))-π/2
    2×atan(1.48687684711753)-π/2
    2×0.978731246495318-π/2
    1.95746249299064-1.57079632675     		φ = 0.38666617
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58545336} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.544007°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38666617 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.154340°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77749 KachelY 57261 0.58545336 0.38666617 33.544007 22.154340
    Oben rechts KachelX + 1 77750 KachelY 57261 0.58550129 0.38666617 33.546753 22.154340
    Unten links KachelX 77749 KachelY + 1 57262 0.58545336 0.38662177 33.544007 22.151796
    Unten rechts KachelX + 1 77750 KachelY + 1 57262 0.58550129 0.38662177 33.546753 22.151796
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38666617-0.38662177) × R
    4.44e-05 × 6371000     		dl = 282.8724m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38666617-0.38662177) × R
    4.44e-05 × 6371000     		dr = 282.8724m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58545336-0.58550129) × cos(0.38666617) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.926171401143155 × 6371000     		do = 282.817579180536m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58545336-0.58550129) × cos(0.38662177) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.926188143595382 × 6371000     		du = 282.822691689735m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38666617)-sin(0.38662177))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.926171401143155-0.926188143595382)×R²
    abs(0.58550129-0.58545336)×1.67424522263815e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.67424522263815e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.67424522263815e-05×40589641000000     		ar = 80002.0104919152m²