Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77748 / 57300
↖ ↑ ↗
← N 22.055096°
E 33.541260°		 ← 283.08 m → N 22.055096°
E 33.544007°		 →
↑
283.06 m
↓
↑
283.06 m
↓
N 22.052550°
E 33.541260°		 ← 283.08 m →
80 129 m²		 N 22.052550°
E 33.544007°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77748 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57300 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593173980712891 y=0.437168121337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593173980712891 × 217)
    floor (0.593173980712891 × 131072)
    floor (77748.5)     		tx = 77748
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437168121337891 × 217)
    floor (0.437168121337891 × 131072)
    floor (57300.5)     		ty = 57300
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77748 / 57300 ti = "17/77748/57300"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77748/57300.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77748 ÷ 217
    77748 ÷ 131072     		x = 0.593170166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57300 ÷ 217
    57300 ÷ 131072     		y = 0.437164306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593170166015625 × 2 - 1) × π
    0.18634033203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.58540542
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437164306640625 × 2 - 1) × π
    0.12567138671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.394808305270782
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58540542} λ = 0.58540542}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.394808305270782))-π/2
    2×atan(1.48409966956687)-π/2
    2×0.977865184855292-π/2
    1.95573036971058-1.57079632675     		φ = 0.38493404
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58540542} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.541260°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38493404 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.055096°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77748 KachelY 57300 0.58540542 0.38493404 33.541260 22.055096
    Oben rechts KachelX + 1 77749 KachelY 57300 0.58545336 0.38493404 33.544007 22.055096
    Unten links KachelX 77748 KachelY + 1 57301 0.58540542 0.38488961 33.541260 22.052550
    Unten rechts KachelX + 1 77749 KachelY + 1 57301 0.58545336 0.38488961 33.544007 22.052550
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38493404-0.38488961) × R
    4.44299999999842e-05 × 6371000     		dl = 283.063529999899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38493404-0.38488961) × R
    4.44299999999842e-05 × 6371000     		dr = 283.063529999899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58540542-0.58545336) × cos(0.38493404) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.926823202537706 × 6371000     		do = 283.075662484719m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58540542-0.58545336) × cos(0.38488961) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.926839884999245 × 6371000     		du = 283.080757737879m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38493404)-sin(0.38488961))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.926823202537706-0.926839884999245)×R²
    abs(0.58545336-0.58540542)×1.6682461539741e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.6682461539741e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.6682461539741e-05×40589641000000     		ar = 80129.11743334m²