Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77746 / 57298
↖ ↑ ↗
← N 22.060187°
E 33.535766°		 ← 283.07 m → N 22.060187°
E 33.538513°		 →
↑
283.06 m
↓
↑
283.06 m
↓
N 22.057642°
E 33.535766°		 ← 283.07 m →
80 126 m²		 N 22.057642°
E 33.538513°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77746 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57298 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593158721923828 y=0.437152862548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593158721923828 × 217)
    floor (0.593158721923828 × 131072)
    floor (77746.5)     		tx = 77746
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437152862548828 × 217)
    floor (0.437152862548828 × 131072)
    floor (57298.5)     		ty = 57298
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77746 / 57298 ti = "17/77746/57298"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77746/57298.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77746 ÷ 217
    77746 ÷ 131072     		x = 0.593154907226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57298 ÷ 217
    57298 ÷ 131072     		y = 0.437149047851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593154907226562 × 2 - 1) × π
    0.186309814453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.58530954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437149047851562 × 2 - 1) × π
    0.125701904296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.394904179070023
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58530954} λ = 0.58530954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.394904179070023))-π/2
    2×atan(1.48424196266163)-π/2
    2×0.977909613086284-π/2
    1.95581922617257-1.57079632675     		φ = 0.38502290
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58530954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.535766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38502290 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.060187°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77746 KachelY 57298 0.58530954 0.38502290 33.535766 22.060187
    Oben rechts KachelX + 1 77747 KachelY 57298 0.58535748 0.38502290 33.538513 22.060187
    Unten links KachelX 77746 KachelY + 1 57299 0.58530954 0.38497847 33.535766 22.057642
    Unten rechts KachelX + 1 77747 KachelY + 1 57299 0.58535748 0.38497847 33.538513 22.057642
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38502290-0.38497847) × R
    4.44299999999842e-05 × 6371000     		dl = 283.063529999899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38502290-0.38497847) × R
    4.44299999999842e-05 × 6371000     		dr = 283.063529999899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58530954-0.58535748) × cos(0.38502290) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.926789832125943 × 6371000     		do = 283.065470301356m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58530954-0.58535748) × cos(0.38497847) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.926806518246594 × 6371000     		du = 283.070566672104m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38502290)-sin(0.38497847))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.926789832125943-0.926806518246594)×R²
    abs(0.58535748-0.58530954)×1.66861206509772e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.66861206509772e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.66861206509772e-05×40589641000000     		ar = 80126.2325560781m²