Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77745 / 57329
↖ ↑ ↗
← N 21.981255°
E 33.533020°		 ← 283.16 m → N 21.981255°
E 33.535766°		 →
↑
283.25 m
↓
↑
283.25 m
↓
N 21.978707°
E 33.533020°		 ← 283.17 m →
80 208 m²		 N 21.978707°
E 33.535766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77745 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57329 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593151092529297 y=0.437389373779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593151092529297 × 217)
    floor (0.593151092529297 × 131072)
    floor (77745.5)     		tx = 77745
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437389373779297 × 217)
    floor (0.437389373779297 × 131072)
    floor (57329.5)     		ty = 57329
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77745 / 57329 ti = "17/77745/57329"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77745/57329.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77745 ÷ 217
    77745 ÷ 131072     		x = 0.593147277832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57329 ÷ 217
    57329 ÷ 131072     		y = 0.437385559082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593147277832031 × 2 - 1) × π
    0.186294555664062 × 3.1415926535     		Λ = 0.58526161
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437385559082031 × 2 - 1) × π
    0.125228881835938 × 3.1415926535     		Φ = 0.393418135181801
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58526161} λ = 0.58526161}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.393418135181801))-π/2
    2×atan(1.48203795199826)-π/2
    2×0.977220795914549-π/2
    1.9544415918291-1.57079632675     		φ = 0.38364527
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58526161} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.533020°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38364527 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.981255°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77745 KachelY 57329 0.58526161 0.38364527 33.533020 21.981255
    Oben rechts KachelX + 1 77746 KachelY 57329 0.58530954 0.38364527 33.535766 21.981255
    Unten links KachelX 77745 KachelY + 1 57330 0.58526161 0.38360081 33.533020 21.978707
    Unten rechts KachelX + 1 77746 KachelY + 1 57330 0.58530954 0.38360081 33.535766 21.978707
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38364527-0.38360081) × R
    4.44599999999684e-05 × 6371000     		dl = 283.254659999799m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38364527-0.38360081) × R
    4.44599999999684e-05 × 6371000     		dr = 283.254659999799m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58526161-0.58530954) × cos(0.38364527) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.927306363273503 × 6371000     		do = 283.164153521288m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58526161-0.58530954) × cos(0.38360081) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.927323003878642 × 6371000     		du = 283.169234930253m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38364527)-sin(0.38360081))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927306363273503-0.927323003878642)×R²
    abs(0.58530954-0.58526161)×1.66406051391732e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.66406051391732e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.66406051391732e-05×40589641000000     		ar = 80208.2857094688m²