Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 77745 / 57230
↖ ↑ ↗
← N 22.233175°
E 33.533020°		 ← 282.66 m → N 22.233175°
E 33.535766°		 →
↑
282.68 m
↓
↑
282.68 m
↓
N 22.230633°
E 33.533020°		 ← 282.66 m →
79 903 m²		 N 22.230633°
E 33.535766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77745 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57230 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593151092529297 y=0.436634063720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593151092529297 × 217)
    floor (0.593151092529297 × 131072)
    floor (77745.5)     		tx = 77745
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436634063720703 × 217)
    floor (0.436634063720703 × 131072)
    floor (57230.5)     		ty = 57230
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77745 / 57230 ti = "17/77745/57230"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77745/57230.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77745 ÷ 217
    77745 ÷ 131072     		x = 0.593147277832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57230 ÷ 217
    57230 ÷ 131072     		y = 0.436630249023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593147277832031 × 2 - 1) × π
    0.186294555664062 × 3.1415926535     		Λ = 0.58526161
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.436630249023438 × 2 - 1) × π
    0.126739501953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.398163888244186
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58526161} λ = 0.58526161}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.398163888244186))-π/2
    2×atan(1.489088053937)-π/2
    2×0.979419219169303-π/2
    1.95883843833861-1.57079632675     		φ = 0.38804211
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58526161} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.533020°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38804211 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.233175°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77745 KachelY 57230 0.58526161 0.38804211 33.533020 22.233175
    Oben rechts KachelX + 1 77746 KachelY 57230 0.58530954 0.38804211 33.535766 22.233175
    Unten links KachelX 77745 KachelY + 1 57231 0.58526161 0.38799774 33.533020 22.230633
    Unten rechts KachelX + 1 77746 KachelY + 1 57231 0.58530954 0.38799774 33.535766 22.230633
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38804211-0.38799774) × R
    4.43700000000158e-05 × 6371000     		dl = 282.681270000101m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38804211-0.38799774) × R
    4.43700000000158e-05 × 6371000     		dr = 282.681270000101m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58526161-0.58530954) × cos(0.38804211) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.92565165373607 × 6371000     		do = 282.658868057876m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58526161-0.58530954) × cos(0.38799774) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.925668441404288 × 6371000     		du = 282.663994374322m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38804211)-sin(0.38799774))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.92565165373607-0.925668441404288)×R²
    abs(0.58530954-0.58526161)×1.67876682181101e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.67876682181101e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.67876682181101e-05×40589641000000     		ar = 79903.0923693159m²