Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 77745 / 57135
↖ ↑ ↗
← N 22.474492°
E 33.533020°		 ← 282.17 m → N 22.474492°
E 33.535766°		 →
↑
282.17 m
↓
↑
282.17 m
↓
N 22.471955°
E 33.533020°		 ← 282.17 m →
79 621 m²		 N 22.471955°
E 33.535766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 77745 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57135 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593151092529297 y=0.435909271240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593151092529297 × 217)
    floor (0.593151092529297 × 131072)
    floor (77745.5)     		tx = 77745
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435909271240234 × 217)
    floor (0.435909271240234 × 131072)
    floor (57135.5)     		ty = 57135
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 77745 / 57135 ti = "17/77745/57135"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/77745/57135.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 77745 ÷ 217
    77745 ÷ 131072     		x = 0.593147277832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57135 ÷ 217
    57135 ÷ 131072     		y = 0.435905456542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.593147277832031 × 2 - 1) × π
    0.186294555664062 × 3.1415926535     		Λ = 0.58526161
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.435905456542969 × 2 - 1) × π
    0.128189086914062 × 3.1415926535     		Φ = 0.402717893708092
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58526161} λ = 0.58526161}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.402717893708092))-π/2
    2×atan(1.49588483361023)-π/2
    2×0.981525109395708-π/2
    1.96305021879142-1.57079632675     		φ = 0.39225389
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58526161} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.533020°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39225389 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.474492°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 77745 KachelY 57135 0.58526161 0.39225389 33.533020 22.474492
    Oben rechts KachelX + 1 77746 KachelY 57135 0.58530954 0.39225389 33.535766 22.474492
    Unten links KachelX 77745 KachelY + 1 57136 0.58526161 0.39220960 33.533020 22.471955
    Unten rechts KachelX + 1 77746 KachelY + 1 57136 0.58530954 0.39220960 33.535766 22.471955
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39225389-0.39220960) × R
    4.42900000000024e-05 × 6371000     		dl = 282.171590000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39225389-0.39220960) × R
    4.42900000000024e-05 × 6371000     		dr = 282.171590000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58526161-0.58530954) × cos(0.39225389) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.924049808438537 × 6371000     		do = 282.169725326076m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58526161-0.58530954) × cos(0.39220960) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.92406673836313 × 6371000     		du = 282.174895082217m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39225389)-sin(0.39220960))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.924049808438537-0.92406673836313)×R²
    abs(0.58530954-0.58526161)×1.69299245930121e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.69299245930121e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.69299245930121e-05×40589641000000     		ar = 79621.0094373184m²